2022　奈良女子大学　後期

2022-10631-0201

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理学部

易□　並□　難□

【１】　 $a$ を実数とする．関数 $y = x^{4} - 2 x^{2}$ と $y = x^{2} + a x$ のグラフをそれぞれ $G_{1} ，$ $G_{2}$ とする．以下の問いに答えよ．

(1)　 $a = 0$ のとき， $G_{1}$ と $G_{2}$ の共有点をすべて求めよ．

(2)　 $G_{1}$ と $G_{2}$ の共有点が $4$ 個となる $a$ の条件を求めよ．

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易□　並□　難□

【２】　 $f (x) = x e^{- x}$ とする．以下の問いに答えよ．

(1)　関数 $y = f (x)$ の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べ，グラフの概形をかけ．ただし， $\lim_{x \to - \infty} f (x) = - \infty ，$ $\lim_{x \to \infty} f (x) = 0$ であることを用いてよい．

(2)　曲線 $y = f (x)$ と $x$ 軸および $2$ 直線 $x = 1 ，$ $x = 2$ で固まれた図形を， $x$ 軸のまわりに $1$ 回転させてできる立体の体積を求めよ．

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【３】　四面体 $OABC$ において， $OA = 2 ，$ $OB = OC = BC = 1 ，$ $AB = AC = \sqrt{3}$ とする．辺 $AB$ の中点を $P$ とし，辺 $BC$ を $t : (1 - t)$ に内分する点を $Q$ とする．ただし， $0 < t < 1$ とする．以下の問いに答えよ．

(1)　ベクトル $\vec{OP}$ の大きさを求めよ．

(2)　ベクトル $\vec{OQ}$ の大きさを $t$ を用いて表せ．

(3)　内積 $\vec{OP} \cdot \vec{OQ}$ を $t$ を用いて表せ．

(4)　 $∠POQ = 45 °$ となる $t$ の値を求めよ．

2022 奈良女子大学 後期

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