2022　鳥取大学　前期

(1)　$a_2\text{，}$$b_2\text{，}$$a_3\text{，}$$b_3$を求めよ．

(2)　$a_n+b_n\text{，}$$a_n-b_n$の一般項をそれぞれ求めよ．

(3)　$a_n\text{，}$$b_n$の一般項をそれぞれ求めよ．

　$\alpha =-1+i$であり，点$z$は複素数平面上で原点を中心とする単位円上を動く．以下の問いに答えよ．

(1)　$w_1={\displaystyle \frac{\alpha +z}{i}}$とする．$w_1$が描く図形を図示せよ．

(2)　$w_2$は等式$w_2\bar{\alpha }-\overline{w_2}\alpha +ki=0$を満たす．$w_2$の軌跡が，(1)で求めた$w_1$の軌跡と共有点を持つ場合の$k$の最大値を求めよ．ただし，$\bar{\alpha }\text{，}$$\overline{w_2}$はそれぞれ$\alpha \text{，}$$w_2$の共役複素数である．

(1)　$a<t<b$を満たす実数$t$に対して点$\mathrm{T}$$(t,{\displaystyle \frac{1}{t}})$をとり，三角形$\mathrm{ATB}$の面積を$f(t)$で表す．関数$f(t)$$\text{（}a<t<b\text{）}$の最大値を$M$とするとき，$f(t)=M$を満たす$t$を$a\text{，}$$b$を用いて表せ．

(2)　$a=1\text{，}$$b=2$のとき，(1)で求めた$f(t)$の最大値$M$を求めよ．

$C\text{：}x=f(t)\text{，}$$y=g(t)$$(0\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

を考える．ただし，$f(t)\text{，}$$g(t)$は

$\{\begin{array}{l}f(t)=2\sin t+\cos 2t-1\\ g(t)=1-\cos 2t\end{array}$

とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$f(t)$の最大値を求めよ．

(2)　曲線$C$上の点$(x,y)$において，$y=1$のときの接線の方程式を求めよ．

(3)　曲線$C$と$y$軸で囲まれる領域の面積$S$を求めよ．

$a_1<a_2<a_3$$<\cdots <a_n<a_{n+1}<\cdots$

を満たすとき，次の問いに答えよ．

(1)　すべての正整数$n$に対し，$a_n\geqq n$が成り立つことを示せ．

(2)　${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{\left({\displaystyle \frac{1}{a_n}}\right)}^2<2$であることを示せ．

(1)　三角形$\mathrm{AEF}$の面積と三角形$\mathrm{AFG}$の面積の比を求めよ．

(2)　三角形$\mathrm{AEF}$の面積と三角形$\mathrm{EFG}$の面積の比を求めよ．

(1)　三角形$\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．

(2)　原点$\mathrm{O}$から$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を通る平面に下ろした垂線を$\mathrm{OD}$とする．点$\mathrm{D}$の座標を求めよ．

(3)　(2)で求めた点$\mathrm{D}$について，線分$\mathrm{OD}$の長さを求めよ．

(4)　四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．

(1)　さいころをちょうど$2$回ふる確率を求めよ．

(2)　さいころをちょうど$k$回ふる確率を求めよ．ただし，$k$は自然数とする．

(3)　さいころをふる回数が$n$以下となる確率を求めよ．ただし，$n$は自然数とする．