2022　島根大学　前期MathJax

(A)　$x^2+(2a+3)x+a=0$

(B)　$x^2+ax+(a-1)=0$

について，次の問いに答えよ．

(1)　$2$次方程式(A)は異なる$2$つの実数解をもつことを示せ．

(2)　$2$次方程式(A)と(B)が共通の解を少なくとも$1$つもつような$a$の値をすべて求めよ．

(1)　$S$を$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\theta$を用いて表せ．

(2)　$S$を$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$r$を用いて表せ．

(3)　$R={\displaystyle \frac{\beta }{r}}$となるとき，$\alpha +\beta$と$\alpha \beta$を$L$を用いて表せ．また，このとき$L>16$を示せ．

(4)　$R={\displaystyle \frac{\beta }{r}}$かつ$L=18$とする．このとき，$\mathrm{▵OAB}$の辺の長さの組$(\mathrm{OA},\mathrm{OB},\mathrm{AB})$をすべて求めよ．

(1)　$C$と$l$は$(3,f(3))$以外にもう一つの共有点をもつ．この共有点の座標を求めよ．

(2)　$C$と$l$で囲まれた図形の面積を求めよ．

(3)　点$(b,f(b))$における曲線$C$の接線が$l$と平行であるような$3$とは異なる実数$b$を求めよ．

(1)　領域$D$のうち，$\left|x\right|\geqq \sqrt{2}$かつ$y\geqq 0$をみたす$(x,y)$の範囲を図示せよ．

(2)　領域$D$のうち，$y\geqq 0$をみたす$(x,y)$の範囲を図示せよ．

(3)　領域$D$の面積を求めよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$s\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．

(2)　$a^2+b^2-2c>0$であることを示せ．

(3)　$a\geqq b$であるとする．$s$がすべての正の実数を動くとき，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|$の最小値が存在することを示し，その最小値を$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を用いて表せ．

(1)　$\underset{x\to -\infty }{\lim }(\sqrt{x^2+2px+1}+x+q)=r$となる確率を求めよ．

(2)　${\displaystyle {\int }_0^r}(p{x}^2-4x+q)\mathit{dx}<0$となる確率を求めよ．

(1)　不等式$2({\displaystyle \frac{1}{a}}-1)<{\displaystyle \frac{1}{a^2}}-1$を示せ．

(2)　方程式$ax-\log (1+x)=0$は，$2({\displaystyle \frac{1}{a}}-1)<x<{\displaystyle \frac{1}{a^2}}-1$の範囲にただ$1$つの実数解$\beta$をもつことを示せ．

(3)　$\beta$を(2)で求めた実数解とする．曲線$y=\log (1+x)$と直線$y=ax$で囲まれた図形の面積$S$を$a$と$\beta$を用いた整式で表せ．

$(-1,1,\sqrt{15})\text{，}$$(-3,0,0)\text{，}$$(2,0,0)$

である．点$\mathrm{D}$は$xy$平面上にあり，その$y$座標は正である．$\mathrm{AD}=5\text{，}$$\mathrm{BD}=5\text{，}$$\mathrm{CD}=2\sqrt{5}$である．次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{D}$の座標を$(a,b,0)$とおく．$a\text{，}$$b$を求めよ．

(2)　点$\mathrm{A}$から$x$軸に垂線$\mathrm{AE}$を下ろす．内積$\overrightarrow{\mathrm{EA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}}$を求めよ．

(3)　平面$\mathrm{ABC}$と平面$\mathrm{DBC}$のなす角を$\theta$とする．$\cos \theta$の値を求めよ．ただし，$0\mathrm{°}\leqq \theta \leqq 90\mathrm{°}$とする．