2022　島根大学　後期総合理工学部MathJax

(1)　$a_n$を求めよ．

(2)　$r_n$を求めよ．

(3)　$S_1+2S_2+\cdots +n{S}_n$を求めよ．

(1)　$2$つのベクトル$\overrightarrow{q}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}(1,-1,0)\text{，}$$\overrightarrow{r}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}(1,1,1)$の両方に垂直な単位ベクトルを$1$つ求めよ．

(2)　$3$つの単位ベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$は，すべてのベクトル$\overrightarrow{x}$に対し，次の等式をみたすとする．

${(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{x})}^2+{(\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{x})}^2+{(\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{x})}^2={\left|\overrightarrow{x}\right|}^2$

このとき，$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$は，$\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{b}\perp \overrightarrow{c}\text{，}$$\overrightarrow{c}\perp \overrightarrow{a}$であることを示せ．

(3)　$3$つの単位ベクトル$\overrightarrow{d}\text{，}$$\overrightarrow{e}\text{，}$$\overrightarrow{f}$は，$\overrightarrow{d}\perp \overrightarrow{e}\text{，}$$\overrightarrow{e}\perp \overrightarrow{f}\text{，}$$\overrightarrow{f}\perp \overrightarrow{d}$であるとする．このとき，すべてのベクトル$\overrightarrow{x}$に対し，次の等式が成り立つことを示せ．

${(\overrightarrow{d}\cdot \overrightarrow{x})}^2+{(\overrightarrow{e}\cdot \overrightarrow{x})}^2+{(\overrightarrow{f}\cdot \overrightarrow{x})}^2={\left|\overrightarrow{x}\right|}^2$

$x=(v\cos \theta )t\text{，}$$y=(v\sin \theta )t-{\displaystyle \frac{1}{2}}g{t}^2$$\text{（}t$は実数）

と表されている．ここで，$v\text{，}$$g$は正の定数である．次の問いに答えよ．

(1)　曲線$C$上の$y$座標が最大である点の座標を求めよ．

(2)　曲線$C$は$x$軸の正の部分とただ$1$つの点で交わることを示せ．また，その交点の$x$座標を求めよ．

(3)　(2)で求めた$x$座標を最大にする$\theta$の値を求めよ．

(1)　関数$f(x)={\displaystyle \frac{\log x}{x}}$について増減，極値，凹凸を調べ，そのグラフの概形をかけ．ただし，$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\log x}{x}}=0$を用いてよい．

(2)　$a$を正の実数とするとき，不等式

${\displaystyle \frac{\log a}{a}}<{\displaystyle \frac{2}{3}}\log 2$

が成り立つことを示せ．ただし，自然対数の底$e$に対し，$e>2.7\text{，}$$\log 2>0.6$を用いてよい．

(3)　自然数$p\text{，}$$q\text{，}$$r$の組で

$p^{3q}{q}^{3p}=r^{2pq}$かつ$r\geqq 3$

をみたすものをすべて求めよ．