2022　広島大学　前期

【１】　正の整数$N$に対し，$N$を$7$進法で表したときの数字の並びを$10$進法で表された数だと思って読みとった数を$M$とする．例えば，$N=7$のとき，$N$は$7$進法で${10}_{(7)}$と表されるので$M=10$である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$M=100$のとき$N$の値を求めよ．また，$N=100$のときMの値を求めよ．

(2)　$N$は$7$進法では$3$桁で表され，$10$進法では$2$桁で表されるとする．$2N=M$が成り立つとき，$N$の値を求めよ．

(3)　$7$進法で$3$桁で表される$N$のうちで，$2N=M$が成り立つ最大のものを求めよ．

(4)　$N$は$7$進法で$4$桁で表されるとする．このとき，$2N<M$となることを示せ．

【２】　$a$を正の実数，$t$を$0<t<1$を満たす実数とする．座標平面上の$3$点$\mathrm{A}$$(0,a)\text{，}$$\mathrm{B}$$(-1,0)\text{，}$$\mathrm{C}$$(1,0)$を頂点とする二等辺三角形の内接円を$S$とし，その中心が$\mathrm{I}$$(0,t)$であるとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{\angle IBC}$を$\theta$とおく．$t$と$a$を，それぞれ$\theta$を用いて表せ．

(2)　$a$を$t$を用いて表せ．

(3)　$\mathrm{▵ABC}$の重心が内接円$S$の周上にあるとき，$t$の値を求めよ．

(4)　$\mathrm{▵ABC}$の垂心が$S$の周上にあるとき，$t$の値を求めよ．ただし，三角形の各頂点から対辺，またはその延長に下ろした$3$本の垂線は$1$点で交わることが知られており，その交わる点を三角形の垂心と呼ぶ．

(5)　$\mathrm{▵ABC}$の外心が$S$の周上にあるとき，$t$のとり得る値をすべて求めよ．

【３】　$n$を自然数とする．袋の中に赤玉が$3$個，白玉が$(n+5)$個，合計で$(n+8)$個の玉が入っている．また，空箱$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}$が用意されている．この準備の下で次の試行１，試行２を順に行う．

試行１　袋から玉を$1$個取り出して，箱$\mathrm{A}$に入れる．箱$\mathrm{A}$に入れた玉が白玉なら$i=0\text{，}$赤玉なら$i=1$とおく．

試行２　次に，袋から白玉を$n$個取り出して，箱$\mathrm{B}$に入れる．この時点で，袋に残った玉$7$個のうち，赤玉は$(3-i)$個，白玉は$(4+i)$個である．この$7$個の中から$2$個の玉を取り出して，箱$\mathrm{C}$に入れる．

　試行２を終えたら，箱$\mathrm{A}$と箱$\mathrm{C}$の玉の色を記録して，箱$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の玉をすべて元通り袋に戻す．そして次の試行３を行う．

試行３　袋から玉を$1$個取り出して，箱$\mathrm{D}$に入れる．次に，袋から玉を$n$個取り出して，箱$\mathrm{E}$に入れる．最後に袋から玉を$2$個取り出して，箱$\mathrm{F}$に入れる．

　このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$i=0$であったとき，試行２において箱$\mathrm{C}$に赤玉が$2$個入る条件付き確率$p_0$を求めよ．また，$i=1$であったとき，試行２において箱$\mathrm{C}$に赤玉が$2$個入る条件付き確率$p_1$を求めよ．

(2)　試行１において，箱$\mathrm{A}$に赤玉が入る確率$q_{\mathrm{A}}$を$n$を用いて表せ．また，試行１，試行２を順に行うとき，箱$\mathrm{C}$に赤玉が$2$個入る確率$q_{\mathrm{C}}$を$n$を用いて表せ．

(3)　試行３において，箱$\mathrm{D}$に赤玉が入るという事象を事象$X\text{，}$箱$\mathrm{E}$に入る玉がすべて白であるという事象を事象$Y\text{，}$箱$\mathrm{F}$に赤玉が$2$個入るという事象を事象$Z$と呼ぶことにする．事象$X$と事象$Y$がともに起こる確率$P(X\cap Y)$を$n$を用いて表せ．また，事象$Y$と事象$Z$がともに起こる確率$P(Y\cap Z)$を$n$を用いて表せ．

(4)　(3)の事象$Y$が起こったとき，(3)の事象$X$が起こる条件付き確率$P_Y(X)$と，(3)の事象$Z$が起こる条件付き確率$P_Y(Z)$をそれぞれ求めよ．

【４】　実数$a$に対して，座標平面上の点$(a,0)$を通る傾き$4a$の直線を$L_a$とする．$a$が実数全体を動くとき，直線$L_a$が通り得る点全体からなる領域を$S$とする．また，$2$点$\mathrm{P}$$(0,1)$と$\mathrm{Q}$$(0,2)$に対し，$\sqrt{2}\mathrm{AP}\leqq \mathrm{AQ}$を満たす点$\mathrm{A}$全体からなる領域を$T$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　領域$S$を図示せよ．

(2)　領域$T$を図示せよ．

(3)　$S$と$T$の共通部分の面積を求めよ．

【１】　座標平面上の曲線$y=x^3+x^2$を$C$とする．また，$a$を実数とし，$L_a$を点$(-1,0)$を通る傾き$a$の直線とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$C$と$L_a$がちょうど二つの共有点をもつような$a$の値をすべて求めよ．

(2)　$a$が(1)の条件を満たすそれぞれの場合について，$C$と$L_a$で囲まれた部分の面積を求めよ．

(3)　$C$と$L_a$がちょうど三つの共有点をもち，さらに$C$と$L_a$で囲まれた二つの部分の面積の差の絶対値が${\displaystyle \frac{3}{2}}$となるとき，$a$の値を求めよ．

【３】　$a\text{，}$$b$を整数とする．また，整数の数列$\{c_n\}$を$c_1=a\text{，}$$c_2=b$および漸化式

$c_{n+2}=c_{n+1}+c_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

により定める．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a=39\text{，}$$b=13$とする．このとき，二つの整数$c_5$と$c_6$の最大公約数を求めよ．

(2)　$a$と$b$はともに奇数であるとする．このとき，自然数$n$に対して次の命題$P_n$が成り立つことを，$n$についての数学的帰納法で示せ．

$P_n$：$c_{3n-2}$と$c_{3n-1}$はともに奇数であり，$c_{3n}$は偶数である．

(3)　$d$を自然数とし，$a$と$b$はともに$d$の倍数であるとする．このとき，自然数$n$に対して$c_n$が$d$の倍数になることを示せ．ただし，数学的帰納法を用いて証明すること．

(4)　$c_{2022}$が奇数であるならば，$a+b$も奇数であることを示せ．

【５】　次の問いに答えよ．

(1)　${\sqrt{2}}^{({\sqrt{2}}^{\sqrt{2}})}$と${({\sqrt{2}}^{\sqrt{2}})}^{\sqrt{2}}$との大小を比較せよ．

(2)　関数$f(x)$を$f(x)={\sqrt{2}}^x$と定義し，座標平面上の曲線$y=f(x)$を$C$とする．$C$上の点$(2,f(2))$における接線の方程式を，実数$m\text{，}$$k$を用いて$y=mx+k$と表すとき，$m$と$k$の値をそれぞれ求めよ．

(3)　$f(x)$および$m$と$k$を(2)のように定める．すべての実数$x$に対して$f(x)\geqq mx+k$が成り立つことを示せ．

(4)　数列 $\{a_n\}$を$a_1=\sqrt{2}$および漸化式$a_{n+1}={\sqrt{2}}^{a_n}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$により定義する．自然数$n$に対して

$2-a_{n+1}\leqq (\log 2)\cdot (2-a_n)$

が成り立つことを示し，極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．必要ならば，自然対数の底が$e=2.718\cdots$であることを用いてよい．