2022　広島大学　後期数学科

【１】　数列$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$a_3\text{，}\cdots$が与えられたとき，

$p_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n{a}_k}$

なる規則により，データ$p_1\text{，}$$p_2\text{，}$$p_3\text{，}\cdots$が得られるとする．以下の問いに答えよ．

(1)　数列$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$a_3\text{，}\cdots$の第$k$項が$a_k={(-1)}^{k-1}$で与えられているとき，$n$個のデータ$p_1\text{，}$$p_2\text{，}\cdots \text{，}$$p_n$の中央値を求めよ．

(2)　$r$を$0<r<1$をみたす実数とする．数列$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$a_3\text{，}\cdots$の第$k$項が$a_k={(-r)}^{k-1}$で与えられているとする．$n$個のデータ$p_1\text{，}$$p_2\text{，}\cdots \text{，}$$p_n$の中央値を$q_n$とする．このとき，次の極限を調べよ．

$\underset{n\to \infty }{\lim }{q}_n$

(3)　実数$\alpha$に対して，$\alpha$を超えない最大の整数を$[\alpha ]$と書く．数列$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$a_3\text{，}\cdots$の第$k$項が

$a_k={(-1)}^{k-1}\left[{\displaystyle \frac{k-1}{2}}\right]$

で与えられているとする．$n$個のデータ$p_1\text{，}$$p_2\text{，}\cdots \text{，}$$p_n$の平均値を$A_n\text{，}$中央値を$M_n$とする．このとき，次の極限を調べよ．

(ⅰ)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{A}_n$　(ⅱ)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{M}_n$

【２】　$t$を$0$以上の実数とし，$\theta$の関数$f(\theta )$を次で定める．

$f(\theta )=\sin \theta +e^t\sin 2\theta$

以下の問いに答えよ．

(1)　$\theta$についての方程式$f(\theta )=0$の，$0<\theta <2\pi$の範囲における異なる実数解の個数を求めよ．

(2)　方程式$f(\theta )=0$の$0<\theta <2\pi$における実数解のうち，最小のものを${\theta }_t$とする．$\theta$の関数$f(\theta )$の導関数$f^{\prime }(\theta )$の$\theta ={\theta }_t$における値$f^{\prime }({\theta }_t)$を$t$を用いて表せ．

(3)　${\theta }_t$は(2)で定めた実数とする．$t$が$0$以上の実数全体を動くときに，

$\{\begin{array}{l}x=t\\ y=f^{\prime }({\theta }_t)\end{array}$

で表される点$(x,y)$がえがく$xy$平面上の曲線を$C$とする．曲線$C$と直線$x=0$および直線$y=-{\displaystyle \frac{15}{4}}$で囲まれる部分の面積を求めよ．

(4)　${\theta }_t$は(2)で定めた実数とする．$t$が$0$以上の実数全体を動くときに，

$\{\begin{array}{l}x=e^t\\ y=f^{\prime }({\theta }_t)\end{array}$

で表される点$(x,y)$がえがく$xy$平面上の曲線を$D$とする．曲線$D$と直線$x=1$および直線$y=-{\displaystyle \frac{15}{4}}$で囲まれる部分の面積を求めよ．

【３】　$(x,y,z)$を座標とする座標空間を考える．$r$は正の実数とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$a$を$0\leqq a<r$を満たす実数とする．不等式

$x^2+y^2+z^2\leqq r^2\text{，}$$y^2+z^2\geqq a^2$

を満たす点$\mathrm{P}$$(x,y,z)$全体のなす立体の体積を，$r$と$a$を用いて表せ．

(2)　$\mathrm{O}$を原点とし$\mathrm{E}$$(1,0,0)$とする．$\alpha$を$0<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たす実数とする．条件

$r\leqq \mathrm{OP}\leqq 2r$かつ$\mathrm{\angle POE}\leqq \alpha$

を満たす点$\mathrm{P}$全体のなす立体の体積を，$r$と$\alpha$を用いて表せ．

(3)　不等式

$2\left|x\right|+\left|y\right|\leqq \cos z\text{，}$$0\leqq z\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$

を満たす点$\mathrm{P}$$(x,y,z)$全体のなす立体の体積を求めよ．

【４】　$n$を正整数とする．何も文字が書かれていない状態から始めて，さいころを$n$回ふり，文字$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$からなる長さ$n$の文字列を次の規則で作る．

$1$または$2$の目が出たら文字$\mathrm{A}$を，それ以外の目が出たら文字$\mathrm{B}$を，列の右側に付け加える．

この規則で作った長さ$n$の文字列に$\mathrm{BB}$という並びが現れない確率を$p_n$とする．また，この文字列に$\mathrm{BB}$という並びが現れずかつ最右端の文字が$\mathrm{A}$である確率を$a_n$とし，この文字列に$\mathrm{BB}$という並びが現れずかつ最右端の文字が$\mathrm{B}$である確率を$b_n$とする．たとえば，文字列の長さが$1$ならば，$\mathrm{BB}$という並びは決して現れないから

$a_1={\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}$$b_1={\displaystyle \frac{2}{3}}\text{，}$$p_1=1$

である．以下の問いに答えよ．

(1)　$a_2\text{，}$$b_2\text{，}$および$p_2$を求めよ．

(2)　$a_{n+1}$および$b_{n+1}$を$a_n$と$b_n$を用いて表せ．

(3)　$p_{n+2}$を$p_{n+1}$と$p_n$を用いて表し，$p_n$を$n$の式として表せ．

(4)　$n$が偶数であるとし，$n=2m$とおく．得られた文字列に$\mathrm{BB}$という並びが現れなかったときの，$m$番目の文字が$\mathrm{A}$である条件つき確率を$q_m$とする．極限

$\underset{m\to \infty }{\lim }{q}_m$

を調べよ．

【５】　$(x,y,z)$を座標とする座標空間において$4$点

$\mathrm{A}(2,0,3)\text{，}$$\mathrm{B}(0,1,3)\text{，}$$\mathrm{C}(0,0,3)\text{，}$$\mathrm{D}(1,1,0)$

を考える．直線$\mathrm{CD}$を含み直線$\mathrm{AB}$と平行な平面を$\alpha$とし，直線$\mathrm{AB}$を含み直線$\mathrm{CD}$と平行な平面を$\beta$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　平面$\alpha$と$x$軸の交点$\mathrm{E}\text{，}$および平面$\alpha$と$y$軸の交点$\mathrm{F}$の座標をそれぞれ求めよ．

(2)　平面$\beta$と$z$軸の交点$\mathrm{G}$の座標を求めよ．

(3)　連立不等式

$x\geqq 0\text{，}$$y\geqq 0\text{，}$$z\geqq 0$

で表される空間内の領域において，平面$\alpha$と平面$\beta$にはさまれた部分の体積を求めよ．

(4)　点$\mathrm{P}$は直線$\mathrm{AB}$上を動き，点$\mathrm{Q}$は直線$\mathrm{CD}$上を動くとする．線分$\mathrm{PQ}$の長さが最小値をとるときの点$\mathrm{P}$および点$\mathrm{Q}$の座標と，この長さの最小値を求めよ．