2022　広島大学　後期理学部物理学科

【１】

問１　区間$0\leqq x\leqq 1$での定積分

$I_n={\displaystyle {\int }_0^1}{x}^n{e}^x\mathit{dx}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を考える．ここで，$n$は自然数，$e$は自然対数の底である．以下の問いに答えよ．

(1)　$I_{n+1}$を$n$と$I_n$を用いて表せ．

(2)　$I_n>I_{n+1}$を証明せよ．

(3)　次の不等式を証明せよ．

${\displaystyle \frac{e}{n+2}}<I_n<{\displaystyle \frac{e}{n+1}}$

(4)　関数$f_n(x)$が$f_n(x)=e^x-n{\displaystyle {\int }_0^1}{f}_n(t)t^n\mathit{dt}$を満たしている．ここで，右辺の定積分を

${\displaystyle {\int }_0^1}{f}_n(t)t^n\mathit{dt}=C_n$

と表し，$n$のみに依存する定数$C_n$とする．$C_n$を$n$と$I_n$を用いて表せ．

(5)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n(x)$を求めよ．

【１】

問２　直径$1$の円の円周$\pi$は，この円に内接する正$n$角形の周の長さ$a_n$よりも大きく，同じく外接する正$n$角形の周の長さ$b_n$よりも小さい．以下の問いに答えよ．

(1)　$a_n\text{，}$$b_n$を表す式を求めよ．

(2)　次の(ⅰ)，(ⅱ)の関係が成立することを示せ．

(ⅰ)　${\displaystyle \frac{1}{a_n}}+{\displaystyle \frac{1}{b_n}}={\displaystyle \frac{2}{b_{2n}}}$

(ⅱ)　$a_n{b}_{2n}={(a_{2n})}^2$

(3)　$a_{12}$と$b_{12}$の値を求め，$3.0<\pi <3.3$であることを示せ．ここで，$\sqrt{2}\fallingdotseq 1.41\text{，}$$\sqrt{3}\fallingdotseq 1.73$と近似してよい．また，${(a+b\sqrt{c})}^2=a^2+b^{2}c+2ab\sqrt{c}$の関係を参考にしてよい．