2022　広島大学　総合型選抜教育学部技術・情報系

【４】　コンピュータを使い，ある計算を繰り返すことで，$\sqrt{11}$の近似値を求めたいとする．$w=11$とし，次の不等式を満たす正の有理数$x$と$y$が最初に与えられているとする．

$x<\sqrt{w}<y$

$|y-x|$の値が与えられた正の実数$c$より小さくなるまで繰り返し$x$と$y$の値を更新することで，$\sqrt{w}$の近似値を求める．このとき，$x$と$y$について以下のような更新則（二分探索法）を考える．

［更新則］$\text{「}x$と$y$の値を更新するために，次のように$z$を計算する．

$z=(x+y)/2$

もし$w<z^2$ならば，$y$に$z$の値を代入する．そうでなければ，$x$に$z$の値を代入する．」

この更新を$1$回行うことで，更新後の$x$と$y$は$x<\sqrt{11}<y$を満たし，かつ$|y-x|$の値は更新前より小さくなる．また，更新後の$x$と$y$は正の有理数である．

(1)　$x=3\text{，}$$y=4\text{，}$$c=0.3$とし，$|y-x|>c$の間は上述の更新則により，$x$と$y$の値の更新を繰り返す．$|y-x|>c$でなければ更新を終えて$a=(x+y)/2$を$\sqrt{11}$の近似値とする．この手続きによって，$x$と$y$の数値がどのように更新されるか，また，$a$の値を具体的に示しなさい．

(2)　$x=3\text{，}$$y=4\text{，}$$c=0.001$とし，(1)のように$\sqrt{11}$の近似値を求める手続きをフローチャートで図示しなさい．フローチャートの書き方については，以下を参考にすること．

(3)　下線部が成り立つ理由を示しなさい．

＜フローチャートの書き方について＞

　(2)のような手続きは，変数に値を次々に代入する処理（逐次処理），条件に応じて次にどのような処理を行うか（条件分岐），処理の繰り返し（反復処理）により，記述することができる．図３に，$x$に$3$を代入した後に$y$に$4$を代入する逐次処理を示す．また，図４に$v$が$3$より大きいか小さいか条件に応じて分岐する条件分岐を示す．図４は，$v$が$3$より大きい場合はyesの矢印へ，$v$が$3$より小さい場合はnoの矢印へと分岐して処理を続けることを表している．図５に反復処理の例として，$u$に$1$を代入した後，現在の$u$より一つ小さな値$(u-1)$を$u$に代入する処理を行い，これを繰り返し行う処理を示している．図６に手統きの始点（はじめ）と終点（おわり）を示す．

図３　逐次処理	図４　条件分岐	図５　反復処理	図６　始点と終点