2022　広島大学　総合型選抜教育学部数理系

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$a$を$0$以上の定数とする．$x$の方程式$3^{2x}-a\cdot 3^x+a=0$がただ一つの解をもつような定数$a$の値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　$n$が自然数のとき，

${}_{2n}C_n\geqq {\displaystyle \frac{4^n}{2n}}$

を示せ．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　$0<\alpha <\beta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，次の不等式を証明せよ．

${\displaystyle \frac{\tan \alpha +\tan \beta }{2}}>\tan {\displaystyle \frac{\alpha +\beta }{2}}$

【１】　次の問いに答えよ．

(4)　正八角形の頂点のうち，$4$つを選んで作ることができる長方形について，縦と横の長さの比はどのような値を取りうるか決定せよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(5)　関数$f(t)=\sin t-{\displaystyle \frac{1}{2}}\cos 2t$に対して，媒介変数表示

$x=f^{″}(t)-f(t)\text{，}$$y=f^{\prime }(t)$$\text{（}0\leqq t\leqq \pi \text{）}$

で表される曲線は，$x$軸に関して対称であることを示せ．

【２】　$0$以上の整数$n$に対して，

$i_n={\displaystyle {\int }_0^1}{x}^{2n}\sin \pi x\mathit{dx}\text{，}$$J_n={\displaystyle {\int }_0^1}{x}^{2n+1}\cos \pi x\mathit{dx}$

とする．次の問いに答えよ．

(1)　$I_0\text{，}$$J_0$を求めよ．

(2)　関係式

$I_n={\displaystyle \frac{1}{\pi }}+{\displaystyle \frac{2n}{\pi }}{J}_{n-1}$$\text{（}n\geqq 1\text{）}$

が成り立つことを示せ．

(3)　関係式

$J_n=-{\displaystyle \frac{2n+1}{\pi }}{I}_n$$\text{（}n\geqq 0\text{）}$

が成り立つことを示せ．

(4)　$I_{n+1}$を$I_n$を用いて表せ．

(5)　整数を係数とする$n$次式$P_n(x)$を用いて

$I_n={\displaystyle \frac{1}{\pi }}{P}_n\left({\displaystyle \frac{1}{{\pi }^2}}\right)$$\text{（}n\geqq 1\text{）}$

と表せることを，数学的帰納法を用いて証明せよ．

【３】　次の問いに答えよ．

(1)　同一直線上にない$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$は同一円周上にあるかどうかを調べよ．同一円周上にある場合はその証明を与え，そうでない場合は反例を挙げよ．

(2)　どの$3$点も同一直線上にない$4$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$について，線分$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$\mathrm{PA}\cdot \mathrm{PB}$及び$\mathrm{PC}\cdot \mathrm{PD}$の値は方べきとよばれる．方べきを用いて，この$4$点が同一円周上にあるための必要十分条件を述べよ．ただし，証明をする必要はない．

(3)　原点$\mathrm{O}$と異なる点$\mathrm{A}$があり，半直線$\mathrm{OA}$上に点$\mathrm{B}$がある．また，$\mathrm{OA}\cdot \mathrm{OB}=4$とする．点$\mathrm{A}$が直線$x=1$上を動くとき，点$\mathrm{B}$の軌跡を求め，図示せよ．