2022　広島大学　AO入試理学部数学科

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　$z$を$0$でない複素数とし

${|z-{\displaystyle \frac{1}{z}}|}^2-{|\left|z\right|-{\displaystyle \frac{1}{\left|z\right|}}|}^2=1$

が成り立つものとする．このとき，$z$の偏角$\theta$としてあり得る値をすべて求めよ．ただし，偏角$\theta$の範囲は$0\leqq \theta <2\pi$とする．

【１】　以下の問いに答えよ．

(2)　袋に異なる$10$色のボールが一つずつ合計$10$個入っている．袋からボールを一つ取り出し，色を調べてから袋に戻す．これを$5$回繰り返すとき，取り出されたボールの色がちょうど$3$種類である確率を求めよ．

【２】　$1$辺の長さが$1$である正四面体$\mathrm{OABC}$がある．点$\mathrm{X}\text{，}$$\mathrm{Y}\text{，}$$\mathrm{Z}$を$\overrightarrow{\mathrm{OX}}=x\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OY}}=y\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OZ}}=z\overrightarrow{\mathrm{OC}}$となるように取る．ただし，$x\text{，}$$y\text{，}$$z$は$0$より大きく$1$未満の実数であるとする．以下の問いに答えよ．

(1)　三角形$\mathrm{XYZ}$が$\mathrm{\angle XYZ}=90\mathrm{°}$を満たす直角三角形であるとする．このとき$z<y<x$または$x<y<z$が成り立つことを証明せよ．

(2)　三角形$\mathrm{XYZ}$が$\mathrm{\angle XYZ}=90\mathrm{°}$を満たす直角三角形であるとする．このとき，$y<{\displaystyle \frac{1}{2}}$が成り立つことを証明せよ．

(3)　三角形$\mathrm{XYZ}$が直角二等辺三角形であることはあり得るか．あり得るならば$x\text{，}$$y\text{，}$$z$の値を一組求め，あり得ないならばそのことを証明せよ．

【３】　座標平面上の曲線$C\text{：}y=e^x$を考える．曲線$C$に，点$(1,0)$から引いた接線を$l_1$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$l_1$の方程式を求めよ．

(2)　$h$を$0<h<1$を満たす実数とする．直線は曲線$C$に接し，その傾きは$l_1$の傾きの$h$倍であるとする．このとき，$l_2$の方程式を$h$を用いて表せ．

(3)　$l_1$と(2)の$l_2$との交点$\mathrm{P}$の$x$座標$b$を$h$を用いて表せ．

(4)　(3)で求めた$b$は，$h$の関数として$0<h<1$の範囲で増加することを示せ．

(5)　原点$\mathrm{O}$と(3)の点$\mathrm{P}$を結ぶ線分$\mathrm{OP}$を$(1-h):h$に内分する点を$\mathrm{Q}$とし，その$x$座標を$q(h)$とする．定積分

${\displaystyle {\int }_{\frac{1}{1}}^2}q(h)\mathit{dh}$

の値を求めよ．ただし，$q(1)=0$とする．

【４】　$m$を$2$以上の自然数とし，

$|\cos {\displaystyle \frac{n\pi }{m}}|<|\sin {\displaystyle \frac{n\pi }{m}}|$

を満たす自然数$n$を小さい方から順に$n_1\text{，}$$n_2\text{，}$$n_3\text{，}\cdots$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$n_4<m<n_5$となる最小の$m$を求めよ．

(2)　$m$を(1)の自然数とし，数列$\{a_k\}$を

$a_k={\displaystyle \frac{n_{4k-3}}{m}}+{\displaystyle \frac{n_{4k-2}}{m}}+{\displaystyle \frac{n_{4k-1}}{m}}+{\displaystyle \frac{n_{4k}}{m}}$$\text{（}k=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．このとき，$\{a_k\}$は等差数列であることを示せ．

(3)　$m$を(1)の自然数とし，数列$\{S_N\}$を

$S_N={\displaystyle \sum _{k=1}^{4N}}{\displaystyle \frac{n_k}{m}}$$\text{（}N=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．このとき，$S_N\geqq {32}^{10}$を満たす最小の自然数$N$の桁数を求めよ．必要ならば，${\log }_{10}2=0.3010\cdots$を用いてよい．

【５】　$0<a<b<c$および${\displaystyle \frac{1}{ab}}+{\displaystyle \frac{1}{bc}}+{\displaystyle \frac{1}{ca}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$を満たす整数の組$(a,b,c)$をすべて求めよ．