2022　山口大学　前期MathJax

【１】　関数$f(x)=e^{-\frac{x}{2}}-e$について，次の問いに答えなさい，

(1)　$f(x)$の導関数および不定積分を求めなさい．

(2)　$\underset{x\to +\infty }{\lim }|f(x)|$を求め，$y=|f(x)|$のグラフの概形をかきなさい．

(3)　定積分${\displaystyle {\int }_{-4}^4}|f(x)|\mathit{dx}$の値を求めなさい．

【２】　次の問いに答えなさい．

(1)　$x>0$のとき，関数$f(x)={\displaystyle \frac{\log x}{x}}$の最大値を求めなさい．ただし，対数は自然対数とする，

(2)　正の整数の組$(a,b)$で，$a^b=b^a$かつ$a\ne b$を満たすものをすべて求めなさい．

【３】　$1$辺の長さが$1$である正四面体$\mathrm{OABC}$において$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，次の問いに答えなさい，

(1)　線分$\mathrm{OA}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}$を用いて表しなさい．

(2)　$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$で定まる平面$\alpha$に対して点$\mathrm{O}$と対称な位置にある点を${\mathrm{O}}^{\prime }$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{O}}^{\prime }}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表しなさい．ただし．$2$点$\mathrm{O}\text{，}$${\mathrm{O}}^{\prime }$が平面$\alpha$に関して対称であるとは，直線$\mathrm{O}{\mathrm{O}}^{\prime }$が$\alpha$と垂直であり，線分$\mathrm{O}{\mathrm{O}}^{\prime }$の中点が$\alpha$上にあるときをいう．

(3)　点$\mathrm{X}$が$\mathrm{▵ABC}$上を動く．$\mathrm{OX}+\mathrm{XP}$の値が最小となるとき，$\overrightarrow{\mathrm{OX}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表しなさい．

【４】　$xy$平面上の原点を$\mathrm{O}$とし，$2$点${\mathrm{P}}_1$$(1,0)\text{，}$${\mathrm{Q}}_1$$(1,\sqrt{3})$をとる．自然数$n$に対して，$x$座標が$\mathrm{O}{\mathrm{P}}_n$の長さを${\displaystyle \frac{3}{2}}$倍して${\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n$を加えた値となる$x$軸上の点を${\mathrm{P}}_{n+1}$とおく．${\mathrm{P}}_n$を通り直線$\mathrm{O}{\mathrm{Q}}_1$と平行な直線と，${\mathrm{P}}_{n+1}$を通り$x$軸に垂直な直線との交点を${\mathrm{Q}}_{n+1}$とする．$\mathrm{▵}{\mathrm{Q}}_{n+1}{\mathrm{P}}_n{\mathrm{P}}_{n+1}$を$T_n$とおく．次の問いに答えなさい．

(1)　${\mathrm{P}}_2$および${\mathrm{P}}_4$の$x$座標の値を求めなさい．

(2)　${\mathrm{P}}_n$の$x$座標を${\alpha }_n$とするとき，${\alpha }_n$を$n$を用いて表しなさい．

(3)　$\mathrm{\angle }{\mathrm{P}}_1\mathrm{O}{\mathrm{Q}}_1$の二等分線を$l$とする．自然数$n$に対して，$T_n$の辺${\mathrm{P}}_n{\mathrm{Q}}_{n+1}$と$l$の交点の座標を求めなさい．

(4)　自然数$n$に対して，$T_n$から$l$によって切り取られる三角形の面積を$s_n$としたとき，無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{s}_n$の和を求めなさい．

【１】　曲線$y=f(x)=\log (x^2+1)$$\text{（}x\geqq 0\text{）}$を$C$とし，$C$上の点$\mathrm{P}$$(1,f(1))$における接線を$l$とする．ただし，対数は自然対数とする，

(1)　$C$の変曲点を求め，$C$と$l$の共有点は$\mathrm{P}$のみであることを示しなさい．

(2)　$C$と$l$および$y$軸とで囲まれた部分の面積を求めなさい．

【２】　平面上の$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を頂点とする三角形を$T$とし，$T$の重心を$\mathrm{G}$とする．$\mathrm{G}$に関して，$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$と対称な点をそれぞれ${\mathrm{A}}^{\prime }\text{，}$${\mathrm{B}}^{\prime }\text{，}$${\mathrm{C}}^{\prime }$とし，${\mathrm{A}}^{\prime }\text{，}$${\mathrm{B}}^{\prime }\text{，}$${\mathrm{C}}^{\prime }$を頂点とする三角形を$T^{\prime }$とする．$\overrightarrow{\mathrm{GA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{GB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{GC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$T$の辺$\mathrm{BC}$と$T^{\prime }$の辺${\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }$は平行であることを示しなさい．

(2)　$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$であることを示しなさい．

(3)　$T^{\prime }$の辺${\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }$は$T$の辺$\mathrm{AB}$および$\mathrm{AC}$と交わることを示しなさい．

(4)　$T$と$T^{\prime }$の共通部分の面積を，$T$の面積$S$を用いて表しなさい．

【４】　整数全体を定義域とし，整数を値にとる関数$f(n)$が，次の条件１，２を満たしているとする．

条件１　$f(0)=0$

条件２　任意の整数$n$に対し，$f(3+n)=f(3-n)$かつ$f(7+n)=f(7-n)$が成り立つ

整数全体を定義域とする関数$g(n)\text{，}$$h(n)$をそれぞれ，$g(n)=6-n\text{，}$$h(n)=14-n$とするとき，次の問いに答えなさい．

(1)　合成関数$(h\circ g)(n)$と$(g\circ h)(n)$を求めなさい．

(2)　任意の整数$n$に対し，$2$つの等式$(f\circ g)(n)=f(n)$と$(f\circ h)(n)=f(n)$が成り立つことを示しなさい．

(3)　$f(2022)=0$であることを示しなさい．

(4)　集合$A$を，関数$f(n)$のとりうる値全体の集合，すなわち，$A=\{f(n)|n\text{は整数}\}$とする．このとき，集合$A$の要素の個数は$5$以下であることを示しなさい．

【１】　関数$f(x)=x^3+3x^2$について，次の問いに答えなさい．

(1)　$f(x)$の増減を調べ，$y=f(x)$のグラフの概形をかきなさい．

(2)　点$(p,q)$から曲線$y=f(x)$に異なる接線が$3$本引けるとき，$p$と$q$についての条件を求め，その条件を満たす点$(p,q)$全体の領域を$pq$平面に図示しなさい．

【２】　次の問いに答えなさい．

(1)　等式$a^3+b^3={(a+b)}^3-3ab(a+b)$を証明しなさい．

(2)　$a^3+b^3+c^3-3abc$を因数分解しなさい．

(3)　$a>0\text{，}$$b>0\text{，}$$c>0$のとき，不等式$a^3+b^3+c^3\geqq 3abc$を証明しなさい．さらに，等号が成り立つのは$a=b=c$のときであることを証明しなさい．

【３】　次の条件によって定まる数列$\{a_n\}$がある．

$a_1=1\text{，}$$a_2=1\text{，}$$a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

次の問いに答えなさい．

(1)　漸化式$a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$を$a_{n+2}-\alpha a_{n+1}=\beta (a_{n+1}-\alpha a_n)$と変形したとき，定数$\alpha$と$\beta$の値を求めなさい．ただし，$\alpha <\beta$とする．

(2)　$b_n=a_{n+1}-a_n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$とおく．数列$\{b_n\}$の初項$b_1$と一般項$b_n$を求めなさい．

(3)　数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を求めなさい．