2022　愛媛大学　前期MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　$t$を実数とする．原点を中心とする半径$1$の円と，$2$点$\mathrm{A}$$(-1,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,t)$を通る直線との$2$つの交点のうち，$\mathrm{A}$でない交点を$\mathrm{C}$とする．$\mathrm{C}$の座標を$t$を用いて表せ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(2)　$2$次方程式$x^2-3x+4=0$の$2$つの解を$\alpha \text{，}$$\beta$とするとき，${\alpha }^3+{\beta }^3$の値を求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(3)　$m^2-mn-2n^2=22$を満たす自然数の組$(m,n)$をすべて求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(4)　赤玉$4$個，白玉$3$個，黒玉$2$個が入っている袋から，$3$個の玉を同時に取り出すとき，取り出した玉の色がすべて異なる確率を求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(5)　次の和を求めよ．

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}}}$

【２】　以下の問いに答えよ．

(1)　$n$を自然数とするとき，

$1^2+3^2+5^2+\cdots +{(2n-1)}^2$$={}_{2n+1}C_3$

が成り立つことを数学的帰納法によって証明せよ．

【２】　以下の問いに答えよ．

(2)　$\theta$が${\displaystyle \frac{\pi }{3}}\leqq \theta <\pi$を満たすとき，

$0<{\displaystyle \frac{\cos \theta +1}{\sin {\displaystyle \frac{\theta }{2}}+1}}\leqq 1$

が成り立つことを証明せよ．

【２】　以下の問いに答えよ．

(3)　関数$y=|x-1|-2|x+1|$$\text{（}-4\leqq x\leqq 2\text{）}$の最大値，最小値を求めよ．

【３】　$n$を自然数とし，$p$を正の実数とする．放物線

$C\text{：}y=-x^2+4$

上に点$\mathrm{P}$$(p,-p^2+4)\text{，}$$\mathrm{Q}$$(-p,-p^2+4)$がある．$C$上の点$\mathrm{P}$における接線を$l_1$とし，点$\mathrm{P}$と点$(0,-n)$を通る直線を$l_2$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$l_1$の傾きを$p$を用いて表せ．

(2)　$l_2$の傾きを$p\text{，}$$n$を用いて表せ．

(3)　$l_1$と$l_2$が垂直であるとき，$p$を$n$を用いて表せ．

(4)　$l_1$と$l_2$が垂直であるとき，直線$\mathrm{PQ}$と$C$で囲まれる部分の面積$S_n$を求めよ．

(5)　(4)で求めた$S_n$について，$S_n\geqq 288$となる$n$の最小値を求めよ．

【４】　次の$$に適する数を，解答用紙の指定のところに記入せよ．

(1)　$f(x)={\sin }^2(2x+{\displaystyle \frac{\pi }{3}})$のとき，$f^{\prime }(0)=\text{ア}$である．

【４】　次の$$に適する数を，解答用紙の指定のところに記入せよ．

(2)　$\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{\sqrt{ax+4}-b}{x}}=1$が成り立つとき，$a=\text{イ}\text{，}$$b=\text{ウ}$である．

【４】　次の$$に適する数を，解答用紙の指定のところに記入せよ．

(3)　$p\text{，}$$q$を正の実数とし，空間内の$4$点$\mathrm{A}$$(p,1,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(p,-1,0)\text{，}$$\mathrm{C}$$(-q,0,0)\text{，}$$\mathrm{D}$$(0,0,1)$を考える．$\mathrm{▵ABC}$が正三角形で，$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AD}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$が垂直であるとき，$p=\text{エ}\text{，}$$q=\text{オ}$である．

【４】　次の$$に適する数を，解答用紙の指定のところに記入せよ．

(4)　$z\text{，}$$w$を$\left|z\right|=2\text{，}$$\left|w\right|=5$を満たす複素数とする．$z\bar{w}$の実部が$3$であるとき，$|z-w|=\text{カ}$である．

【４】　次の$$に適する数を，解答用紙の指定のところに記入せよ．

(5)　関数$f(x)$が$f(x)=x+{\displaystyle {\int }_0^{\pi }}f(t)\sin t\mathit{dt}$を満たすとき，$f(0)=\text{キ}$である．

【４】　次の$$に適する数を，解答用紙の指定のところに記入せよ．

(6)　媒介変数$t>0$を用いて$x=t+e^t\text{，}$$y=2+\log t$と表された曲線の$t=1$に対応する点における接線の方程式は，$y=\text{ク}x+\text{ケ}$である．

【５】　以下の問いに答えよ．

(1)　$\{a_n\}$を初項が$6\text{，}$公差が$3$の等差数列，$\{b_n\}$を初項が$3\text{，}$公比が$2$の等比数列とする．

(ⅰ)　$a_2\text{，}$$a_3\text{，}$$b_2\text{，}$$b_3$を求めよ．

(ⅱ)　すべての$n\geqq 4$について$a_n<b_n$となることを証明せよ．

【５】　以下の問いに答えよ．

(2)　$s\text{，}$$t$を実数とする．$x$についての$2$次方程式$x^2+sx+t=0$のすべての解の実部が負であるような点$(s,t)$の領域を$st$平面上に図示せよ．

【６】　以下の問いに答えよ．

(1)　$t$は$0<t<1$であるとする．座標平面上を動く点$\mathrm{Q}$を考える．$\mathrm{Q}$は次の規則(＊)に従う移動を繰り返す．

(＊)	$\mathrm{Q}$が点$(x,y)$にいるとき，点$(x+3,y+2)$または点$(x+2,y+5)$のどちらかにそれぞれ確率$t\text{，}$確率$1-t$で移動する．

$n$を自然数とし，はじめ原点にいた$\mathrm{Q}$が$n$回移動したとき，直線$y=x$上にいる確率$P_n$とおく．

(ⅰ)　$\overrightarrow{a}=(3,2)\text{，}$$\overrightarrow{b}=(2,5)$とする．次の条件(＃)をみたす自然数の組$(l,m)$をすべて求めよ．

(＃)	原点に関する位置ベクトルが$l\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}$となる点が直線$y=x$上にある．

(ⅱ)　(ⅰ)で求めた$(l,m)$について，$l+m$のとりうる値の最小値を$N$とするとき，$P_1\text{，}$$P_2\text{，}\cdots \text{，}$$P_N\text{，}$$P_{N+1}\text{，}\cdots \text{，}$$P_{2N}$を求めよ．

(ⅲ)　$t$が$0<t<1$の範囲を動くとき，(ⅱ)で求めた$P_N$が最大となる$t$を求めよ．

【６】　以下の問いに答えよ．

(2)　$x$を実数とし，無限等比級数

(◇)　${\displaystyle \frac{1}{{(x+1)}^2}}+{\displaystyle \frac{1}{{(1+x)}^4}}+{\displaystyle \frac{1}{{(1+x)}^6}}$$+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{{(x+1)}^{2n}}}+\cdots$

を考える．

(ⅰ)　無限等比級数(◇)が収束するような$x$の値の範囲を求めよ．

(ⅱ)　$x$が(ⅰ)で求めた範囲にあるとき，無限等比級数(◇)の和を求めよ．

(ⅲ)　(ⅱ)で求めた和を$f(x)$とおく．$k$$$を$2$以上の自然数とするとき，曲線$y=f(x)$と，直線$x=1\text{，}$$x=k\text{，}$および$x$軸で囲まれた部分の面積$S_k$を求めよ．

(ⅳ)　(ⅲ)で求めた$S_k$について，極限$\underset{k\to \infty }{\lim }{S}_k$を求めよ．

志望別問題選択一覧

教育（学校教育教員養成課程数I・数II・数A・数B受験者）工（社会デザインコース），農学部　【１】，【２】，【３】

教育（学校教育教員養成課程数I・数II・数III・数A・数B受験者）学部　【２】，【３】，【４】

理，工（環境建設工学科社会デザインコース除く），医（医学科）学部　【４】，【５】，【６】