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2022-10801-0201
2022 愛媛大学 後期
理,工学部
易□ 並□ 難□
【1】 次の に適する数を,解答用紙の指定のところに記入せよ.
(1) 空間のベクトル p → が, 3 つのベクトル a → , b→ , c→ と実数 x , y , z を用いて p →=x ⁢a→ +y⁢ b→ +z⁢c → と表されるとする.
p→ ⋅a→ =4 , p→ ⋅b→ =4 , p→ ⋅c→ =23 ,
a→ ⋅b→ =1 . b→ ⋅c→ =-2 , c→ ⋅a→ =0 ,
| a→ |= 1 , | b→ |= 2 , | c→ |= 3
が成り立つとき x = ア , y= イ , z= ウ である.
2022-10801-0202
(2) 関数 f ⁡(x )=log ⁡( x2+e ) ( x≧0 ) について,曲線 y =f⁡( x) の変曲点を P とする.このとき, y=f⁡ (x ) 上の点 P における接線の方程式は
y= エ ⁢x + オ
である.
2022-10801-0203
(3) ∫ -ππ | x| ⁢cos⁡ 3⁢x⁢ dx= カ である.
2022-10801-0204
(4) ∫ log⁡2 log⁡5 2⁢e xe 2⁢x −1 ⁢dx = キ である.
2022-10801-0205
(5) 1 から 7 までの数字が書かれたカードがそれぞれ 4 枚ずつある.この合計 28 枚のカードから 2 枚のカードを同時に引くとき,カードに書かれた数の和が 3 の倍数になる確率は ク である.
2022-10801-0206
(6) 数列 { an } は公比が r の等比数列で,
∑ n=1 ∞ an= 2 , ∑ n=1 ∞a 2⁢n =-3
を横たすとする.このとき r = ケ , a1 = コ である.
2022-10801-0207
【2】 以下の問いに答えよ.
(1) i を虚数単位とし, a を実数とする. 2⁢i が方程式 z 6=a の解であるとき, a の値と 2 ⁢i 以外の解をすべて求めよ.
2022-10801-0208
(2) α を無理数とする.実数 x が cos ⁡x+cos ⁡α⁢x =2 を満たすための必要十分条件は, x=0 であることを証明せよ.
2022-10801-0209
(3) 2| x+1| +2 |x-1 |+1 =5⁢ 2 を満たす実数 x をすべて求めよ.
2022-10801-0110
【3】 n を 2 以上の自然数とし,曲線 y =xn ( x>1 ) 上の点 A (t ,tn ) における接線を l とする.また, l 上に点 B , C を, B の x 座標は t より大きく, C の x 座標は t より小さくなるようにとる.点 D (t, tn+ 1) とし, y 軸上に点 E を ∠EAC =∠DAB となるようにとる. l の傾きを tan ⁡θ1 , E と A を通る直線の傾きを tan ⁡θ2 とする.ただし, 0<θ 1< π2 . 0<θ 2< π2 である.
以下の問いに答えよ.
(1) l の方程式を n と t を用いて表せ.
(2) ∠DAB=θ とするとき, θ1 , θ2 を θ を用いて表せ.
(3) θ2 を θ 1 を用いて表せ.
(4) tan⁡θ 2 を tan ⁡θ1 を用いて表せ.
(5) E の y 座標を n と t を用いて表せ.
(6) E の y 座標が t の値に関係なく一定となるような n の値を求めよ.