2022　九州大学　前期MathJax

【１】　$a$を$-3<a<13$をみたす実数とし，次の曲線$C$と直線$l$が接しているとする．

$C\text{：}y=|x^2+(3-a)x-3a|\text{，}$$l\text{：}y=-x+13$

　以下の問いに答えよ．

(1)　$a$の値を求めよ．

(2)　曲線$C$と直線$l$で囲まれた$2$つの図形のうち，点$(a,0)$が境界線上にある図形の面積を求めよ．

【２】　座標空間内の$4$点

$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}$$\mathrm{A}(1,1,0)\text{，}$$\mathrm{B}(2,1,2)\text{，}$$\mathrm{P}(4,0,-1)$

を考える．$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$を通る平面を$\alpha$とし，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とおく．以下の問いに答えよ．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$の両方に垂直であり，$x$成分が正であるような，大きさが$1$のベクトル$\overrightarrow{n}$を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}$から平面$\alpha$に垂線を下ろし，その交点を$\mathrm{Q}$とおく．線分$\mathrm{PQ}$の長さを求めよ．

(3)　平面$\alpha$に関して点$\mathrm{P}$と対称な点${\mathrm{P}}^{\prime }$の座標を求めよ．

【３】　$k$を実数とし，整式$f(x)$を

$f(x)=x^4+6x^3-k{x}^2+2kx-64$

で定める．方程式$f(x)=0$が虚数解をもつとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$は$x-2$で割り切れることを示せ．

(2)　方程式$f(x)=0$は負の実数解をもつことを示せ．

(3)　方程式$f(x)=0$のすべての実数解が整数であり，すべての虚数解の実部と虚部がともに整数であるとする．このような$k$をすべて求めよ．

【４】　定積分について述べた次の文章を読んで，後の問いに答えよ．

(1)　関数$F(x)\text{，}$$G(x)$が微分可能であるとき，

${\{F(x)+G(x)\}}^{\prime }=F^{\prime }(x)+G^{\prime }(x)$

が成り立つことと定積分の定義$\text{①}$を用いて，性質(A)で$k=l=1$とした場合の等式

${\displaystyle {\int }_a^b}\{f(x)+g(x)\}\mathit{dx}={\displaystyle {\int }_a^b}f(x)\mathit{dx}+{\displaystyle {\int }_a^b}g(x)\mathit{dx}$

を示せ．

(2)　定積分の定義$\text{①}$と，関数の増減と導関数の関係を用いて，次を示せ．

$a<b$のとき，区間$a\leqq x\leqq b$において，$g(x)>0$ならば，${\displaystyle {\int }_a^b}g(x)\mathit{dx}>0$

(3)　(A)，(B)，(C)のうち，空欄$\text{ア}$に入る記号として最もふさわしいものを$1$つ選び答えよ．また文章中の下線部の内容を詳しく説明することで，不等式$\text{②}$を示せ．

(4)　(A)，(B)，(C)のうち，空欄$\text{イ}$に入る記号として最もふさわしいものを$1$つ選び答えよ．また，不等式$\text{③}$を示せ．

【１】　座標空間内の$5$点

$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}$$\mathrm{A}(1,1,0)\text{，}$$\mathrm{B}(2,1,2)\text{，}$$\mathrm{P}(4,0,-1)\text{，}$$\mathrm{Q}(4,0,5)$

を考える．$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$を通る平面を$\alpha$とし，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とおく．以下の問いに答えよ．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$の両方に垂直であり，$x$成分が正であるような，大きさが$1$のベクトル$\overrightarrow{n}$を求めよ．

(2)　平面$\alpha$に関して点$\mathrm{P}$と対称な点${\mathrm{P}}^{\prime }$の座標を求めよ．

(3)　点$\mathrm{R}$が平面$\alpha$上を動くとき，$\left|\overrightarrow{\mathrm{PR}}\right|+\left|\overrightarrow{\mathrm{RQ}}\right|$が最小となるような点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．

【２】　$n$を$3$以上の自然数，$\alpha \text{，}$$\beta$を相異なる実数とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　次をみたす実数$A\text{，}$$B\text{，}$$C$と整式$Q(x)$が存在することを示せ．

$x^n=(x-\alpha ){(x-\beta )}^{2}Q(x)$$+A(x-\alpha )(x-\beta )+B(x-\alpha )+C$

(2)　(1)の$A\text{，}$$B\text{，}$$C$を$n\text{，}$$\alpha \text{，}$$\beta$を用いて表せ．

(3)　(2)の$A$について，$n$と$\alpha$を固定して，$\beta$を$\alpha$に近づけたときの極限$\underset{\beta \to \alpha }{\lim }A$を求めよ．

【３】　自然数$m\text{，}$$n$が

$n^4=1+210m^2$$\cdots \text{①}$

をみたすとき，以下の問いに答えよ．

(1)　${\displaystyle \frac{n^2+1}{2}}\text{，}$${\displaystyle \frac{n^2-1}{2}}$は互いに素な整数であることを示せ．

(2)　$n^2-1$は$168$の倍数であることを示せ．

(3)　$\text{①}$をみたす自然数の組$(m,n)$を$1$つ求めよ．

【４】　定積分について述べた次の文章を読んで，後の問いに答えよ．

(1)　関数$F(x)\text{，}$$G(x)$が微分可能であるとき，

${\{F(x)+G(x)\}}^{\prime }=F^{\prime }(x)+G^{\prime }(x)$

が成り立つことを，導関数の定義に従って示せ．また，この等式と定積分の定義$\text{①}$を用いて，性質(A)で$k=l=1$とした場合の等式

${\displaystyle {\int }_a^b}\{f(x)+g(x)\}\mathit{dx}={\displaystyle {\int }_a^b}f(x)\mathit{dx}+{\displaystyle {\int }_a^b}g(x)\mathit{dx}$

を示せ．

(2)　定積分の定義$\text{①}$と平均値の定理を用いて，次を示せ．

$a<b$のとき，区間$a\leqq x\leqq b$において，$g(x)>0$ならば，${\displaystyle {\int }_a^b}g(x)\mathit{dx}>0$

(3)　(A)，(B)，(C)のうち，空欄$\text{ア}$に入る記号として最もふさわしいものを$1$つ選び答えよ．また文章中の下線部の内容を詳しく説明することで，不等式$\text{②}$を示せ．

(4)　(A)，(B)，(C)のうち，空欄$\text{イ}$に入る記号として最もふさわしいものを$1$つ選び答えよ．また，不等式$\text{③}$を示せ．

【５】　$xy$平面上の曲線$C$を，媒介変数$t$を用いて次のように定める．

$x=5\cos t+\cos 5t\text{，}$$y=5\sin t-\sin 5t$$\text{（}-\pi \leqq t<\pi \text{）}$

　以下の問いに答えよ．

(1)　区間$0<t<{\displaystyle \frac{\pi }{6}}$において，${\displaystyle \frac{\mathit{dx}}{\mathit{dt}}}<0\text{，}$${\displaystyle \frac{\mathit{dy}}{\mathit{dx}}}<0$であることを示せ．

(2)　曲線$C$の$0\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{6}}$の部分，$x$軸，直線$y={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}x$で囲まれた図形の面積を求めよ．

(3)　曲線$C$は$x$軸に関して対称であることを示せ．また，$C$上の点を原点を中心として反時計回りに${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$だけ回転させた点は$C$上にあることを示せ．

(4)　曲線$C$の概形を図示せよ．