2022　九州大学　後期MathJax

【１】　座標平面において，原点を中心とする半径$2$の円$C_1$と，点$(-{\displaystyle \frac{1}{3}},0)$を中心とする半径$1$の円$C_2$がある．実数$t$が$0<t<\pi$の範囲で動くとき，$C_1$上の$2$点$\mathrm{P}$$(2\cos t,2\sin t)\text{，}$$\mathrm{Q}$$(2\cos (2t),2\sin (2t))\text{，}$および$C_2$上の点$\mathrm{R}$$(-{\displaystyle \frac{1}{3}}+\cos t,\sin t)$を考える．また，三角形$\mathrm{PQR}$の面積を$f(t)$とおく．以下の問いに答えよ．

(1)　関数$f(t)$を求めよ．

(2)　極限$\underset{t\to +0}{\lim }{\displaystyle \frac{f(t)}{t}}$を求めよ．

(3)　関数$f(t)$の最大値を求めよ．

【２】　三角形$\mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CA}$の長さをそれぞれ$1\text{，}$$2\text{，}$$\sqrt{3}$とする．点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$がそれぞれ辺$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CA}$上を，$\mathrm{PQ}=\mathrm{QR}=\mathrm{RP}$を満たしながら動くとする．以下の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{\angle APR}$を$\theta$とおく．ただし，点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{A}$に一致するときは$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}$点$\mathrm{R}$が点$\mathrm{A}$に一致するときは$\theta =0$と定める．線分$\mathrm{PQ}$の長さを$\theta$を用いて表せ．

(2)　線分$\mathrm{PQ}$の長さの最小値を求めよ．

【３】　数列$\{a_n\}$を

$a_n={\displaystyle \frac{1}{2^n}}\tan \left({\displaystyle \frac{\pi }{2^{n+3}}}\right)$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

と定義する．以下の問いに答えよ．

(1)　$0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$を満たす実数$x$に対して，等式${\displaystyle \frac{1}{\tan x}}-\tan x={\displaystyle \frac{2}{\tan (2x)}}$を証明せよ．

(2)　$\tan \left({\displaystyle \frac{\pi }{8}}\right)$の値を求めよ．

(3)　無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{a}_n$の収束，発散について調べ，収束する場合はその和を求めよ．

【４】　正の整数$1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots$を自然数と呼ぶ．以下の問いに答えよ．

(1)　次の不等式を満たす自然数$x\text{，}$$y$の組$(x,y)$をすべて求めよ．

$0<|{\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{x}{y}}|<{\displaystyle \frac{1}{y^2}}$

(2)　次の不等式を満たす自然数$x\text{，}$$y$の組$(x,y)$をすべて求めよ．

$|{\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{x^2}{y^2}}|<{\displaystyle \frac{2}{y^3}}$

【５】　$3$つの部屋がある建物$\mathrm{A}$と，$4$つの部屋がある建物$\mathrm{B}$があり，建物$\mathrm{A}$の各部屋には番号$1\text{，}$$2\text{，}$$3$が，建物$\mathrm{B}$の各部屋には番号$1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4$がそれぞれ付いている．また，互いに区別できない荷物が$7$個用意されており，それぞれの荷物を建物$\mathrm{A}$または建物$\mathrm{B}$のいずれかの部屋に格納する．ただし，$1$つの部屋に$7$個すべての荷物を格納する配置や，建物$\mathrm{A}$にまったく荷物が格納されない配置，建物$\mathrm{B}$にまったく荷物が格納されない配置もある．以下の問いに答えよ．

(1)　荷物の配置は何通りあるか．

(2)　建物$\mathrm{A}$の番号$2$の部屋に荷物が$3$個だけ格納される配置は何通りあるか．

(3)　建物$\mathrm{A}$に格納される荷物の総数よりも，建物$\mathrm{B}$に格納される荷物の総数が多い配置は何通りあるか．

(4)　建物$\mathrm{B}$の中に荷物がまったく格納されない部屋が$1$つ以上ある配置は何通りあるか．