2022　佐賀大学　前期

【１】　座標空間内の$4$点$\mathrm{O}$$(0,0,0)\text{，}$$\mathrm{A}$$(2,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(2,2,0)\text{，}$$\mathrm{C}$$(0,2,0)$について

$\mathrm{OD}=\mathrm{AD}=\mathrm{BD}=\mathrm{CD}=2$

を満たす点$\mathrm{D}$で，その$z$座標が正，負になるものを，それぞれ${\mathrm{D}}_1\text{，}$${\mathrm{D}}_2$とする．次の問に答えよ．

(1)　$2$点${\mathrm{D}}_1\text{，}$${\mathrm{D}}_2$の座標を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}$$(1,1,0)$と実数$a\text{，}$$b$について

$a\overrightarrow{\mathrm{OA}}+b\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{D}}_1}-\overrightarrow{\mathrm{OP}}$

が$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{D}}_1}$に垂直であるとする．このとき，$a\text{，}$$b$の値を求めよ．

(3)　$6$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$${\mathrm{D}}_1\text{，}$${\mathrm{D}}_2$を頂点とする正八面体を$V$とし，$V$のすべての面に内側から接する球を$S$とする．このとき，$S$の半径を求めよ．また，$V$の各面と$S$とのすべての接点を頂点とする凸多面体について，その名称を答え，各辺の長さを求めよ．

【２】　$n$を$5$以上の整数とする．$1$枚の硬貨を投げる試行を$n$回繰り返すとき，表が出る回数が，ちょうど$n$回目の試行で$5$になる確率を$p_n$とする．次の問に答えよ．

(1)　$p_6$の値を求めよ．

(2)　$p_n$を$n$を用いて表せ．

(3)　${\displaystyle \frac{p_{n+1}}{p_n}}$を$n$を用いて表せ．また，$p_n$の最大値を求めよ．

【３】　関数$f(x)=e^{-x^2}$について，正の定数$a$は$f^{″}(a)=0$を満たすとする．次の問に答えよ．

(1)　$a$の値を求めよ．また，関数$f(x)$のグラフの凹凸を調べ，変曲点を求めよ．

(2)　曲線$y=f(x)$と直線$y=f(a)$で囲まれた図形を，$y$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

【４】　複素数$z$について，$1\text{，}$$z\text{，}$$z^2$を表す複素数平面上の点をそれぞれ$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$とする．次の問に答えよ．

(1)　点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$が正三角形の$3$つの頂点となる$z$をすべて求めよ．

(2)　点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$が直角三角形の$3$つの頂点となるための$z$に関する条件を求めよ．また，この条件を満たす点$z$全体を図示せよ．

【２】　$n$を$5$以上の整数とする．$1$枚の硬貨を投げる試行を$n$回繰り返すとき，表が出る回数が，ちょうど$n$回目の試行で$5$になる確率を$p_n$とする．次の問に答えよ．

(1)　$p_n$を$n$を用いて表せ．

(2)　$p_n$の最大値を求めよ．

【４】　複素数$z$について，$1\text{，}$$z\text{，}$$z^2$を表す複素数平面上の点をそれぞれ$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$とする．次の問に答えよ．

(1)　点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$が正三角形の$3$つの頂点となる$z$をすべて求めよ．

(2)　点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$が直角三角形の$3$つの頂点となる点$z$全体を図示せよ．

【３】　放物線$y=x^2$を$C$とし，$C$上の点$\mathrm{P}$$(t,t^2)$における接線を$l$とする．次の問に答えよ．

(1)　直線$l$の方程式を求めよ．

(2)　$0<t<6$のとき，放物線$C\text{，}$直線$l$と$x$軸で囲まれた図形の面積を$S_1(t)$とし，放物線$C\text{，}$直線$l$と直線$x=6$で囲まれた図形の面積を$S_2(t)$とする．$S_1(t)+S_2(t)$を$S(t)$とおくとき，$S(t)$を$t$を用いて表せ．

(3)　点$\mathrm{P}$$(t,t^2)$が$2\leqq t\leqq 5$を満たしながら放物線$C$上を動くとき，(2)の$S(t)$の最大値と最小値を求めよ．

【４】　$a\text{，}$$b$を整数とし，整式$x^3+a{x}^2+bx+2$を$P(x)$とおく．次の問に答えよ．

(1)　$P(x)$が，整数$n$と定数$p\text{，}$$q$により

$P(x)=(x-n)(x^2+px+q)$

と表されるとき，$p$と$q$は整数であることを示せ．さらに，$n$は$2$の約数であることを示せ．

(2)　方程式$P(x)=0$が異なる3つの整数解をもつような$a\text{，}$$b$の組$(a,b)$を求めよ．

(3)　方程式$P(x)=0$が整数解と実数でない解をもつような$a\text{，}$$b$の組$(a,b)$の個数を求めよ．