2022　佐賀大学　後期

【１】　座標平面上において，原点$\mathrm{O}$$(0,0)$を中心とする半径$2$の円を$C$とし，点${\mathrm{P}}_1$$(1,0)\text{，}$${\mathrm{P}}_2$$(-1,0)$を中心とする半径$1$の円をそれぞれ$C_1\text{，}$$C_2$とする．さらに，円$C_3$は$C$に内接して，$C_1$と$C_2$に外接し，$C_3$の中心を${\mathrm{P}}_3$とするとき，その$y$座標が正であるとする．次の問に答えよ．

(1)　円$C_3$の半径を$r$とする．$\mathrm{▵}\mathrm{O}{\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_3$が直角三角形になることを用いて，$r$の値を求めよ．

(2)　円$C_4$は$C$に内接して，$C_1$と$C_3$に外接し，さらに$C_4$の中心の$x$座標が正であるとする．$C_4$の中心を${\mathrm{P}}_4$とし，$\mathrm{\angle }{\mathrm{P}}_1\mathrm{O}{\mathrm{P}}_4$を$\alpha \text{，}$$\mathrm{\angle }{\mathrm{P}}_3\mathrm{O}{\mathrm{P}}_4$を$\beta$とおく．$C_4$の半径を$s$とするとき，$\cos \alpha$と$\cos \beta$を$s$を用いて表せ．

(3)　(2)の$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$s$について，${\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta$と$s$の値を求めよ．

【２】　$a$を$1$以上$9$以下の整数とする．箱の中に

$20$ポイントのくじ$2$本

$10$ポイントのくじ$a$本

$5$ポイントのくじ$8$本

$0$ポイントのくじ$(10-a)$本

の合計$20$本のくじを入れてよくかき混ぜる．この箱の中から同時に引いた$2$本のくじのポイントの和を獲得ポイントとするとき，次の問に答えよ．

(1)　$a=5$のとき，獲得ポイントが正である確率を求めよ．

(2)　$a=5$とする．獲得ポイントが$20$であったとき，引いたくじの中に$10$ポイントのくじが含まれている確率を求めよ．

(3)　$a$を$1$以上$9$以下の整数とするとき，獲得ポイントが$20$である確率を$a$を用いて表せ．さらに，この確率が最小となる$a$の値をすべて求めよ．

【３】　$r$を正の定数とする．座標平面上を運動する点$\mathrm{P}$の座標$(x,y)$が，時刻$t$の関数として

$x=1-r\cos t\text{，}$$y=r(\sin t-t)$$\text{（}0\leqq t\leqq 2\pi \text{）}$

で表されるとき，次の問に答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$の速度$\overrightarrow{v}$と加速度$\overrightarrow{\alpha }$を求めよ．

(2)　(1)の$\overrightarrow{\alpha }$の大きさ$\left|\overrightarrow{\alpha }\right|$は一定であることを示せ．

(3)　$t=\pi$から$t={\displaystyle \frac{3}{2}}\pi$までの間に点$\mathrm{P}$が動く道のりを求めよ．

【４】　$\alpha ={\displaystyle \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}i}{4}}$とするとき，次の問に答えよ．

(1)　整数$n$について，${\alpha }^n$を極形式で表せ．

(2)

$\left|{\alpha }^n\right|>{\displaystyle \frac{1}{32}}$

を満たす正の整数$n$のうち，最大のものを$n_1$とする．$n_1$の値を求めよ．

(3)　$\alpha$の共役複素数を$\bar{\alpha }$とし

$|{\alpha }^n+{(\bar{\alpha })}^n|>{\displaystyle \frac{1}{16}}$

を満たす正の整数$n$のうち，最大のものを$n_2$とする．$n_2$の値を求めよ．

【３】　次の問に答えよ．

(1)　一般項が$S_n=2^{n}n$で表される数列$\{S_n\}$について

$S_{n+1}-S_n=2^n{P}_1(n)$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たす整式$P_1(x)$を求めよ．

　また，この$P_1(x)$について

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{2}^k{P}_1(k)=2^n{P}_2(n)+a$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たす整式$P_2(x)$と定数$a$の値を求めよ．

(2)

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{2}^{k}k=2^{n}Q(n)+b$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たす整式$Q(x)$と定数$b$の値を求めよ．

(3)　一般項が$T_n=2^n{n}^2$で表される数列$\{T_n\}$について

$T_{n+1}-T_n=2^n{R}_1(n)$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たす整式$R_1(x)$を求めよ．

　さらに

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{2}^k{k}^2=2^n{R}_2(n)+c$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たす整式$R_2(x)$と定数$c$の値を求めよ．

【４】　関数$x^2-3x$の不定積分の$1$つを$f(x)$とし，関数$g(t)$を

$g(t)=f(3t+3)-f(t)$

で定める．次の問に答えよ．

(1)　$g(t)$を$t$の整式として表せ．

(2)　関数$g(t)$の増減を調べ，極値を与える$t$の値を求めよ．

(3)　方程式$g(t)=0$のすべての実数解を求めよ．