2022　鹿児島大学　前期MathJax

【１】　次の各問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{AB}=5\text{，}$$\mathrm{BC}=9\text{，}$$\mathrm{CA}=6$である三角形$\mathrm{ABC}$を考える．頂点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に下ろした垂線$\mathrm{AH}$の長さを求めよ．

【１】　次の各問いに答えよ．

(2)　$ab=4a-b$を満たす正の整数$a\text{，}$$b$の組をすべて求めよ．

【１】　次の各問いに答えよ．

(3)　正$2n$角形${\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2\cdots {\mathrm{A}}_{2n-1}{\mathrm{A}}_{2n}$の異なる$3$つの頂点を結んで三角形を作る．このような三角形の作り方は何通りあるか．なお，頂点が異なれば異なる三角形であるとする．またこのような三角形を任意に選ぶとき，それが直角三角形となる確率$p$を求めよ．ただし，$n\geqq 2$とする．

【２】　次の各問いに答えよ．

(1)　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$が$1$でない正の実数のとき，次の等式が成立することを証明せよ．

${\log }_{a}b={\displaystyle \frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}}$

(2)　$s={\log }_{10}2\text{，}$$t={\log }_{10}3$とするとき，${\log }_{30}600$を$s$と$t$を用いて表せ．

(3)　次の関数の最大値と最小値を求めよ．またそのときの$x$の値を求めよ．

$y=2{({\log }_{5}x)}^2-{\log }_5{x}^8+6$$\text{（}1\leqq x\leqq 125\text{）}$

【３−１】　各項が正となる数列$\{a_n\}$が

$a_1=1\text{，}$$a_2=2\text{，}$$a_{n+1}{a}_{n-1}={a_n}^2+1$$\text{（}n\geqq 2\text{）}$

を満たすとする．

(1)　$a_3\text{，}$$a_4\text{，}$$a_5$を求めよ．

(2)　$c$を実数とする．$3$以上のすべての自然数$n$に対して

$(a_{n+1}+c{a}_n+a_{n-1})a_{n-1}$$=a_n(a_n+c{a}_{n-1}+a_{n-2})$

が成り立つことを証明せよ．

(3)　$3$以上のすべての自然数$n$に対して

$a_n-3a_{n-1}+a_{n-2}=0$

が成り立つことを証明せよ．

【３-２】　平行六面体$\mathrm{OAFB‐CEGD}$を考える．$t$を正の実数とし，辺$\mathrm{OC}$を$1:t$に内分する点を$\mathrm{M}$とする．また三角形$\mathrm{ABM}$と直線$\mathrm{OG}$の交点を$\mathrm{P}$とする．さらに

$\overrightarrow{\mathrm{OẢ}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$

とする．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}\text{，}$$t$を用いて表せ．

(2)　四面体$\mathrm{OABE}$の体積を$V_1$とし，四面体$\mathrm{OABP}$の体積を$V_2$とするとき，これらの比$V_1:V_2$を求めよ．

(3)　三角形$\mathrm{OAB}$の重心を$\mathrm{Q}$とする．直線$\mathrm{FC}$と直線$\mathrm{QP}$が平行になるとき，$t$の値を求めよ．

【３-３】　大小$2$個のサイコロを同時に投げる．大きいサイコロの出る目を十の位，小さいサイコロの出る目を一の位としてできる$2$桁の数を$X$とし，小さいサイコロの出る目を十の位，大きいサイコロの出る目を一の位としてできる$2$桁の数を$Y$とする．

(1)　確率$P(X-Y>0)$を求めよ．

(2)　確率変数$X$の期待値$E(X)$と分散$V(X)$を求めよ．

(3)　確率変数$X-Y$の標準偏差$\sigma (X-Y)$を求めよ．

【４】　次の各問いに答えよ．

(1)　次の関数の導関数を求めよ．

$y=\log |x+\sqrt{x^2+1}|$

(2)　$a>0$のとき，次の不等式が成立することを示せ．

${\displaystyle {\int }_0^a}{\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}\mathit{dx}<{\displaystyle {\int }_0^a}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}}\mathit{dx}$

(3)　次の不等式が成立することを示せ．

${\displaystyle \frac{\pi }{4}}<\log (1+\sqrt{2})$

【５】　曲線$C$の媒介変数表示が

$x={\cos }^{3}t\text{，}$$y=3{\sin }^{3}t$$(0<t<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

で与えられているとする．また曲線$C$上の点$\mathrm{P}$$({\cos }^{3}t,3{\sin }^{3}t)$における接線を$l$とする．さらに原点を中心とする半径$r$の円が直線$l$と接しているとする．

(1)　直線$l$の方程式は

$y=-3(\tan t)x+3\sin t$

と表されることを示せ．

(2)　$\alpha ={\cos }^{2}t$とするとき，$r^2$は

$r^2={\displaystyle \frac{9\alpha (\alpha -1)}{8\alpha -9}}$

と表されることを示せ．

(3)　$0<t<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$における$r$の最大値を求めよ．またそのときの$t$の値を求めよ．

【２−２】　曲線$y=\sqrt{x}$$\text{（}x>0\text{）}$を$C$とする．$C$の接線で点$(0,1)$を通るものを$l$とする．また$C$の法線で傾きが$-2$のものを$n$とする．

(1)　直線$l$の方程式を求めよ．

(2)　直線$n$の方程式を求めよ．

(3)　曲線$C\text{，}$直線$l$および直線$n$で囲まれた部分の面積を求めよ．