2022　鹿児島大学　AO理学部MathJax

【１】　次の各問いに答えよ．

(1)　次のデータは，$6$人のテストの点数であり，平均値が$81$であった．このとき$a$の値を求め，さらに中央値を求めよ．ただし，$a$の値は$0$以上の整数である．

$7775818784a$

【１】　次の各問いに答えよ．

(2)　${(1+i)}^7$を計算せよ．ただし，$i$は虚数単位である．

【１】　次の各問いに答えよ．

(3)　$k\text{，}$$n$は自然数で，$2k\leqq n$を満たすとする．このとき，次の不等式を示せ．

${}_{n}C_{k-1}<{}_{n}C_k$

【１】　次の各問いに答えよ．

(4)　$1$枚のコインを続けて$4$回投げる．$1$回目に表が出る事象を$A\text{，}$$4$回とも同じ面が出る事象を$B$とする．このとき，$A$と$B$は独立かどうか調べよ．

【１】　次の各問いに答えよ．

(5)　体積が$V$の三角錐$\mathrm{ABCD}$を考える．辺$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{AC}\text{，}$$\mathrm{AD}\text{，}$$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CD}\text{，}$$\mathrm{DB}$の中点をそれぞれ$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}\text{，}$$\mathrm{G}\text{，}$$\mathrm{H}\text{，}$$\mathrm{I}\text{，}$$\mathrm{J}$とする．この三角錐$\mathrm{ABCD}$から$4$つの三角錐$\mathrm{AEFG}\text{，}$$\mathrm{BEHJ}\text{，}$$\mathrm{CFIH}\text{，}$$\mathrm{DGJI}$を取り除いた立体の体積を，$V$を用いて表せ．

【２】　$f(x)=x^3-3x$のとき，曲線$y=f(x)$と直線$y=mx$が異なる$3$点で交わるとする．このとき，次の各問いに答えよ．

(1)　関数$y=f(x)$の極値を求め，そのグラフをかけ．

(2)　条件を満たす$m$の範囲を求めよ．

(3)　曲線$y=f(x)$と直線$y=mx$で囲まれた図形の面積$S$を$m$を用いて表せ．

(4)　(3)の面積$S$が$6$となる$m$の値を求めよ．

【３】　平面上に異なる定点$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$と動点$\mathrm{A}$がある．$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$が三角形$\mathrm{ABC}$を作るとする．三角形$\mathrm{ABC}$の内接円の半径を$r$とし，外接円の半径を$R$とする．各辺の長さを$\mathrm{BC}=a\text{，}$$\mathrm{CA}=b\text{，}$$\mathrm{AB}=c$とおくとき，次の各問いに答えよ．

(1)　三角形$\mathrm{ABC}$の面積を$S$とするとき，$S={\displaystyle \frac{1}{2}}(a+b+c)r$を示せ．

(2)　等式$rR={\displaystyle \frac{abc}{2(a+b+c)}}$を示せ．

(3)　$a=1$とする．動点$\mathrm{A}$が$b+c=2$を満たしながら動くとき，積$rR$の最大値を求めよ．

【４】　数列$\{a_n\}$を

$a_1=1\text{，}$$a_{n+1}=a_n-\log (n+1)+1$

で定め，数列$\{b_n\}$を$b_n=e^{a_n}$と定める．ただし，$e$は自然対数の底であって，$e=2.71\cdots$である．このとき，次の各問いに答えよ．

(1)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(2)　数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　$n\geqq 2$のとき，${\displaystyle \frac{b_{n+1}}{b_n}}\leqq {\displaystyle \frac{e}{3}}$を示せ．

(4)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n$を求めよ．

【５】　次の各問いに答えよ．

(1)　$x=\cos \theta$とする．$\cos 3\theta$を$x$を用いて表せ．

(2)　次の等式を満たす$\theta$をすべて求めよ．

$4{\cos }^3\theta -3\cos \theta +{\displaystyle \frac{1}{2}}=0$

ただし，$0\leqq \theta \leqq 180\mathrm{°}$とする．

(3)　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を実数とし，$3$次方程式

$4x^3+a{x}^2+bx+c=0$

の解を$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\gamma$とする．このとき$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\gamma$を用いて表せ．

(4)　$\cos 20\mathrm{°}\text{，}$$\cos 40\mathrm{°}\text{，}$$\cos 80\mathrm{°}$の積$\cos 20\mathrm{°}\cos 40\mathrm{°}\cos 80\mathrm{°}$の値を求めよ．