2022　福島県立医科大学　前期

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　$10$進法における$6^4$を$3$進法で表せ．

(2)　$6^4$以下の自然数の中で，$3$進法で表したとき，${110}_{(3)}\text{，}$${2101}_{(3)}$など各位の数字に$1$がちょうど$2$回あらわれるような数は何個あるか．

【２】　一辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{D}$とし，辺$\mathrm{OA}\text{，}$$\mathrm{OB}$上にそれぞれ点$\mathrm{E}\text{．}$$\mathrm{F}$をとる．

　$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$について，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=s\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OF}}=t\overrightarrow{b}$とする．ただし，$0<s<1\text{，}$$0<t<1$である．

　また，三角形$\mathrm{DEF}$を含む平面と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{G}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}\text{，}$$s\text{，}$$t$で表せ．

(2)　線分$\mathrm{AB}$を$1:3$に外分する点が直線$\mathrm{EF}$上にあるとき，$t$を$s$で表し，$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$で表せ．

(3)　(2)の条件の下で，$\mathrm{DF}=\mathrm{FG}$であるとき，四角形$\mathrm{DEFG}$の面積を求めよ．

【３】　座標平面上に原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$2$の円があって，半径$1$の円$C$がこの円の周りを外接しながら滑らずに反時計回りに転がるとき，$C$の円周上の定点$\mathrm{P}$の描く曲線を考える．はじめ$C$の中心$\mathrm{M}$は点$(3,0)\text{，}$$\mathrm{P}$は点$(4,0)$の位置にある．$\mathrm{M}$が点$(3,0)$から点$(0,3)$まで動くとき，$\mathrm{P}$が描く曲線を$C_{\mathrm{P}}$とする．また，右下図のように，$\mathrm{M}$と$\mathrm{O}$を結ぶ線分と$x$軸の正の向きとのなす角が$\theta$$(0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$となる位置に$C$が移動したときの点$\mathrm{P}$の座標を$(f(\theta ),g(\theta ))$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　線分$\mathrm{PQ}$が円$C$の直径となるような$C$の円周上の点を$\mathrm{Q}$とする．

　中心$\mathrm{M}$が右図の位置にあるとき，$\mathrm{Q}$の$x$座標と$y$座標をそれそれで表せ．

(2)　曲線の媒介変数表示が，$x=f(\theta )\text{，}$$y=g(\theta )$$(0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$で与えられているとき，${\displaystyle \frac{\mathit{dy}}{\mathit{dx}}}\text{，}$${\displaystyle \frac{d^{2}y}{{\mathit{dx}}^2}}$を$\theta$の関数として表せ．

(3)　関数$y=F(x)$$\text{（}0\leqq x\leqq 4\text{）}$のグラフが$C_{\mathrm{p}}$となるとき，関数$y=F(x)$$\text{（}0\leqq x\leqq 4\text{）}$の増減，極値，グラフの凹凸を調べ，$C_{\mathrm{p}}$の概形を描け．

(4)　$C_{\mathrm{p}}$と$x$軸，$y$軸で囲まれる部分の面積$S$を求めよ．

【４】　$f(x)\text{，}$$g(x)$は実数全体において微分可能な関数とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$は実数全体において連続であることを示せ．

(2)　実数$a$は定数とする．$f(x)$が$x=a$で極大であるとき，$f^{\prime }(a)=0$であることを示せ．

(3)　積の微分公式${\{f(x)g(x)\}}^{\prime }=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)$が成り立つことを導関数の定義を用いて示せ．

(4)　すべての自然数$n$について，第$n$次導関数$f^{(n)}(x)\text{，}$$g^{(n)}(x)$が存在するものとする．すべての自然数$n$と$F(x)=f(x)g(x)$の第$n$次導関数$F^{(n)}(x)$について，次のライプニッツの公式が成り立つことを示せ．

$F^{(n)}(x)={\displaystyle \sum _{j=0}^n}{}_{n}C_j{f}^{(n-i)}(x)g^{(i)}(x)$$\cdots \text{Ⓛ}$

ただし，$f^{(0)}(x)=f(x)\text{，}$$g^{(0)}(x)=g(x)$である．