2022　岐阜薬科大学　中期

【１】　次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$がある．$a_1=3\text{，}$$a_2=1\text{，}$$3a_{n+2}-4a_{n+1}+a_n=4n+2$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$

(1)　$b_n=3a_{n+1}-a_n$とおく．数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

(2)　$c_n=a_{n+1}-a_n-2n$とおく．数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(4)　数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$を求めよ．

【２】　実数$x\text{，}$$y$に対して，$X=2^x\tan y\text{，}$$Y={\displaystyle \frac{2^x}{{\cos }^{2}y}}$とおく．また，$xy$平面上で，$0\leqq x\leqq 1$かつ$-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\leqq y\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{4}}$を満たす領域を$D$とする．

(1)　点$(x,y)$が領域$D$上を動くとき，$X\text{，}$$Y$のとりうる値の範囲をそれぞれ求めよ．

(2)　$x=0$かつ$-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\leqq y\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{4}}$のとき，点$(X,Y)$の軌跡を求めよ．また，$x=1$かつ$-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\leqq y\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{4}}$のとき，点$(X,Y)$の軌跡を求めよ．

(3)　点$(x,y)$が領域$D$上を動くとき，点$(X,Y)$の動く領域を$XY$平面上に図示せよ．

【３】　点$\mathrm{O}$を原点とする座標平面において，直線$m\text{：}y={\displaystyle \frac{1}{2}}x$と放物線$C\text{：}y=x^2-{\displaystyle \frac{3}{2}}x$によって囲まれる領域を$R$とする．

(1)　領域$R$の面積$S$を求めよ．

(2)　$t$を$0$以上の実数とし，放物線$C$上の点$\mathrm{P}$$(t,t^2-{\displaystyle \frac{3}{2}}t)$から直線$m$へ下ろした垂線を$\mathrm{PH}$とする．このとき，$\mathrm{PH}=h\text{，}$$\mathrm{OH}=l$として，$h\text{，}$$l$をそれぞれ$t$の式で表せ．

(3)　領域$R$を直線$m$の周りに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．

【４】　集団$\mathrm{U}$では，全体の${\displaystyle \frac{2}{15}}$が病原菌$\mathrm{X}$に感染している．病原菌$\mathrm{X}$の感染を判定する検査方法には，$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の$3$種類がある．病原菌$\mathrm{X}$に感染しているのに誤って陰性と判定する確率，および病原菌$\mathrm{X}$に感染していないのに誤って陽性と判定する確率はいずれも，検査方法$\mathrm{A}$では${\displaystyle \frac{1}{14}}\text{，}$検査方法$\mathrm{B}$では${\displaystyle \frac{1}{27}}\text{，}$検査方法$\mathrm{C}$では${\displaystyle \frac{1}{40}}$である．ただし，病原菌$\mathrm{X}$に感染している場合，および感染していない場合のいずれにおいても，$3$種類の検査方法$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$による判定は独立であるとする．

(1)　集団$\mathrm{U}$から取り出された個体$\mathrm{I}$に対して検査を行ったところ，検査方法$\mathrm{A}$で陽性判定が得られた．このとき，個体$\mathrm{I}$が病原菌$\mathrm{X}$に感染している確率を求めよ．

(2)　集団$\mathrm{U}$から取り出された個体$\mathrm{J}$に対して検査を行ったところ，検査方法$\mathrm{A}$と検査方法$\mathrm{B}$からは陽性判定が得られたが，検査方法$\mathrm{C}$からは陰性判定が得られた．このとき，個体$\mathrm{J}$が病原菌$\mathrm{X}$に感染している確率を求めよ．

(3)　集団$\mathrm{U}$から取り出された個体$\mathrm{K}$に対して検査を行ったところ，$3$種類の検査方法$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$のうち$2$種類からは陽性判定が，$1$種類からは陰性判定が得られた．このとき，個体$\mathrm{K}$が病原菌$\mathrm{X}$に感染している確率，および検査方法$\mathrm{A}$による判定結果が正しかった確率をそれぞれ求めよ．

【５】　四面体$\mathrm{OABC}$において，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=4\text{，}$$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CA}=6$とする．また，点$\mathrm{O}$から平面$\mathrm{ABC}$に下ろした垂線を$\mathrm{OG}$とする．このとき，次の(a)，(b)が成立することは証明なしで用いてよいものとする．

(a)　点$\mathrm{G}$は三角形$\mathrm{ABC}$の重心である．

(b)　以下の各問における球$S_1\text{，}$$S_2\text{，}$$S_3$の中心は，いずれも半直線$\mathrm{OG}$上にある．

(1)　$\mathrm{OG}$の長さ$h_1$を求めよ．また，$4$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$全てを通る球$S_1$の半径$r_1$を求めよ．

(2)　点$\mathrm{G}$から直線$\mathrm{OA}$に下ろした垂線$\mathrm{GH}$の長さ$h_2$を求めよ．また，$6$つの線分$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CA}\text{，}$$\mathrm{OA}\text{，}$$\mathrm{OB}\text{，}$$\mathrm{OC}$全てに接する球$S_2$の半径$r_2$を求めよ．

(3)　$3$つの線分$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CA}$全てに接し，かつ$3$つの半直線$\mathrm{OA}\text{，}$$\mathrm{OB}\text{，}$$\mathrm{OC}$全てに接する球のうち，$S_2$と異なるものを$S_3$とする．球$S_3$の半径$r_3$を求めよ．