2022　静岡文化芸術大学　前期MathJax

【１】　$2$次方程式$x^2-2kx+k+2=0$$\text{（}k$は定数）について，次の各問いに答えよ．

(1)　$2$つの解の比が$1:5$となるとき，$k$の値を求めよ．

(2)　異なる$2$つの解がともに$1$より大きくなるとき，$k$の値の範囲を求めよ．

【２】　表は$\mathrm{A}\text{〜}$$\mathrm{E}$の$5$人の身長と座高を測定した結果である．しかし，$\mathrm{C}$の座高の測定結果を紛失してしまった．ただし，分散および共分散を計算した結果は残っており，身長の分散は$98\text{，}$座高の分散は$16\text{．}$身長と座高の共分散は$38.8$であった．次の各問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{C}$の座高は候補の値を$2$つ挙げることが可能である．その$2$つを答えよ．

(2)　身長と座高の相関係数を小数第$2$位まで求めよ．なお必要があれば，$\sqrt{2}=1.4$として計算すること．

【３】　一辺の長さが$4$の正四面体$\mathrm{ABCD}$について次の各問いに答えよ．

(1)　辺$\mathrm{CD}$の中点を$\mathrm{M}\text{，}$$\mathrm{\angle AMB}=\theta$とするとき，$\sin \theta$の値を求めよ．

(2)　右図のように正四面体$\mathrm{ABCD}$を面$\mathrm{ABM}$で切断して，四面体${\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1\mathrm{C}{\mathrm{M}}_1\text{，}$四面体${\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_2\mathrm{D}{\mathrm{M}}_2$の$2$つに分割した後，${\mathrm{A}}_1$と${\mathrm{A}}_2\text{，}$${\mathrm{B}}_1$と${\mathrm{B}}_2\text{，}$$\mathrm{C}$と$\mathrm{D}$が一致するように密着させる．このときの線分${\mathrm{M}}_1{\mathrm{M}}_2$の長さを求めよ．

【４】　曲線$y=-x^2+9$と曲線$y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}x-6$で囲まれた部分のうち，不等式$y\leqq {\displaystyle \frac{5}{2}}x$の表す領域に含まれる部分の面積を求めよ．

【５】　方程式${\log }_{2}3x\cdot {\log }_{2}5x=7$について，次の各問いに答えよ．

(1)　異なる$2$つの実数解をもつことを示せ．

(2)　異なる$2$つの実数解の積を求めよ．

【６】 　ギターの調律ではまず，太いほうから$2$番目の弦である$\text{「}5$弦」の$5$フレット上に指の腹を乗せて弦を弾き，そのときに鳴る高くて丸い「ハーモニクス音」を，音叉の音の高さに合わせる．そして，一番太い弦$\text{「}6$弦」の$5$フレットと，$\text{「}5$弦」の$7$フレットのハーモニクス音とが一致するように調整する．ここでは，わずかに音の高さがずれている時に生じる「うなり」（音量が大きくなったり小さくなったりする現象）の間隔がゆっくりになり，静止（音量変化なし）すれば$6$弦と$5$弦の調律が完全となる．この調律で起きている現象を，三角関数によって説明する．次の各問いに答えよ．

(1)　次の$$にあてはまる式を求めよ．

　正弦の加法定理：

「$\sin (\alpha +\beta )=\text{ア}\text{」，}$

「$\sin (\alpha -\beta )=\text{イ}\text{」}$

を変形すると，「和と積の公式（積$⟶$和）」とも呼ばれる式の一つ：

「$\sin \alpha \cdot \cos \beta =\text{ウ}\text{」}$$\cdots$[A]

が得られる．

(2)　次の$$にあてはまる式を求めよ．

　$x=\alpha +\beta \text{，}$$y=\alpha -\beta$とおいて，(1)の式[A]を変形すると，「和と積の公式（和$⟶$積）」とも呼ばれる式の一つ：

「$\sin x+\sin y=\text{エ}\text{」}$$\cdots$[B]

が得られる．

(3)　次の$$にあてはまる式を入れて，この調律で起きている現象を説明せよ．

　$6$弦と$5$弦のハーモニクス音（ほぼ正弦波）は，$2$つの弦で鳴る音が合成（加算）される現象となるので，(2)の式[B]の左辺に相当する．

　調律は式[B]の右辺において，$x=y$に近づけていくことに相当する．$6$弦と$5$弦のハーモニクス音の高さに対応する$x$と$y$が一致するとき，式[B]の右辺のうち$\text{オ}$は必ず$1$となり，「うなり」が静止して調律が完全となる．

　このとき，式[B]の右辺を$y$の式で表すと$\text{カ}$となる．

【７】　$1$から$12$までの数字が等間隔に刻まれている．右図に示すような$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円がある．円周上に点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を順に時計回りで配置したとき，

$3\overrightarrow{\mathrm{OA}}+5\overrightarrow{\mathrm{OB}}$$+7\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{0}$

を満たしていた．次の各問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{A}$が$5$の位置にあるとき，点$\mathrm{B}$はどの位置にあるか．

(2)　$\mathrm{▵AOB}:\mathrm{▵BOC}:\mathrm{▵COA}$の面積比を求めよ．

【８】　一辺の長さが$1$である立方体のサイコロを真上から見て一辺の長さが$19$の正方形となるように隙間なく机の上に並べ，それを$1$段目とする．このとき，上面が$1$の目，底面を$6$の目にして，側面には同じ目がそろうルールで並べる．同様のルールで上の段には，最外縁には載せずに一辺の長さを順次$2$ずつ減らして$2$段目には$17\text{，}$$3$段目には$15$の正方形となるようにサイコロを隙間なく積み重ねていく．これを繰り返すと最後は$10$段目の中央に$1$個のサイコロがのるピラミッド状になる．このとき，次の各問いに答えよ．ただし，サイコロの対面の数字の和は$\text{「}7\text{」}$となるものとする．

(1)　$1$段目から$n$段目$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{，}$$10\text{）}$までに積み上げたサイコロの個数の合計$S_n$を求めよ．

(2)　$n$段目に積み重ね終えたときの底面以外の表面に見えるすべてのサイコロの目の合計$T_n$を求めよ．

【９】　袋の中に$\text{S}\text{，}$$\text{U}\text{，}$$\text{A}\text{，}$$\text{C}$と$1$文字ずつ記した$4$枚のカードが入っている．よく混ぜてから，$4$枚のカードを$1$枚ずつ袋に戻さずに取り出して並べていく．並べたカードの文字が「SUAC」の文字の並びと一致していたカードの枚数を確率変数$X\text{，}$対応する確率を$P$とするとき，次の各問いに答えよ．

※SUAC：Shizuoka University of Art and Cultureの略

(1)　$X$の確率分布表を作成せよ．

(2)　$X$の期待値と分散を求めよ．