2022　名古屋市立大　前期

【１】　$x>0$の範囲で定義された関数$f(x)={\displaystyle \frac{\log x}{x}}$について，次の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)$の増減と極値，曲線$y=f(x)$の凹凸と変曲点を調べ，その曲線の概形をかけ．ただし，$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=0$は証明なく用いてよい．

(2)　$m<n$である自然数$m\text{，}$$n$の組で

$m^n=n^m$

を満たすものをすべて求めよ．

(3)　曲線$y=f(x)$と直線$y={\displaystyle \frac{\log 2}{2}}$で囲まれた図形の面積を求めよ．

(編注）2014年お茶の水女子大学前期共通【３】を改変して活用

【２】　三角形$\mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{OA}\text{，}$$\mathrm{OB}\text{，}$$\mathrm{AB}$の長さをそれぞれ$a\text{，}$$b\text{，}$$c$とする．三角形$\mathrm{OAB}$の内接円$C$の中心を$\mathrm{I}$とし，辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{L}\text{，}$辺$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{M}\text{，}$辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{N}$とする．また，直線$\mathrm{IN}$と直線$\mathrm{LM}$の交点を$\mathrm{P}$とし，円$C$と辺$\mathrm{AB}$の接点を$\mathrm{Q}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OI}}$を$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．

(2)　線分$\mathrm{AQ}$の長さを$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を用いて表せ．

(3)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表し，点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$が同一直線上にあることを示せ．

【３】　右図のように$1$辺の長さが$1$の正方形$\mathrm{ABCD}$がある．また，硬貨を投げて，表ならば$2$だけ，裏ならば$1$だけ，この正方形の辺上を動く点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$を考える．点$\mathrm{P}$は，頂点$\mathrm{A}$を出発点とし，時計回りに動く．点$\mathrm{Q}$は，頂点$\mathrm{B}$を出発点とし，反時計回りに動く．はじめに硬貨を$10$回投げて点$\mathrm{P}$のみを動かしたあと，さらに硬貨を$10$回投げて点$\mathrm{Q}$のみを動かすとき，次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$を動かし終わったあとに，点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$にある確率をそれぞれ求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$を動かし終わったあとに，点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$が異なる頂点にある確率を求めよ．

【４】　群に分けられた数列$\{a_n\}$

$1,1|{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}}|$${\displaystyle \frac{1}{4}},{\displaystyle \frac{1}{4}},{\displaystyle \frac{1}{4}},{\displaystyle \frac{1}{4}},{\displaystyle \frac{1}{4}}.{\displaystyle \frac{1}{4}},{\displaystyle \frac{1}{4}}|$${\displaystyle \frac{1}{8}},{\displaystyle \frac{1}{8}},{\displaystyle \frac{1}{8}},{\displaystyle \frac{1}{8}},{\displaystyle \frac{1}{8}},{\displaystyle \frac{1}{8}},{\displaystyle \frac{1}{8}},{\displaystyle \frac{1}{8}},{\displaystyle \frac{1}{8}},{\displaystyle \frac{1}{8}},{\displaystyle \frac{1}{8}},{\displaystyle \frac{1}{8}}|{\displaystyle \frac{1}{16}},\cdots$

に対し，次の問いに答えよ．ただし，第$k$群について各項は$2^{-k+1}$であり項数は$k+2^{k-1}$である．

(1)　$a_{500}$を求めよ．

(2)　第$k$群の項の総和を$S_k$とする．$S_k$を$k$で表し，${\displaystyle \sum _{i=1}^k}{S}_i$を求めよ．

(3)　$a_1$から$a_{2022}$までの和を求めよ．

【２】　三角形$\mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{OA}\text{，}$$\mathrm{OB}\text{，}$$\mathrm{AB}$の長さをそれぞれ$a\text{，}$$b\text{，}$$c$とする．三角形$\mathrm{OAB}$の内接円$C$の中心を$\mathrm{I}$とし，辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{L}\text{，}$辺$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{M}\text{，}$辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{N}$とする．また，直線$\mathrm{IN}$と直線$\mathrm{LM}$の交点を$\mathrm{P}$とし，円$C$と辺$\mathrm{AB}$の接点を$\mathrm{Q}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OI}}$を$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．

(2)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表し，点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$が同一直線上にあることを示せ．

【１】　原点を$\mathrm{O}$とする$xy$平面上に曲線$C\text{：}y=-2x^2+x+1$と$2$点$\mathrm{A}$$(0,1)\text{，}$$\mathrm{B}$$(1,0)$がある．$0<p<q<1$とし，$x$座標が$p\text{，}$$q$である$C$上の$2$点をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　五角形$\mathrm{OAPQB}$の面積を$p\text{，}$$q$で表せ．

(2)　五角形$\mathrm{OAPQB}$の面積を最大にする$p\text{，}$$q$の値を求めよ．

(編注）1998年横浜国立大学後期工学部 【１】を改変して活用