2022　名古屋市立大　後期

【１】　$f(x)=2\sqrt{3}x+\sin \pi x$とする．直線$l\text{：}y=2\sqrt{3}x$と曲線$C\text{：}y=f(x)$および楕円$D\text{：}4x^2+y^2=16$について，次の問いに答えよ．

(1)　直線$l$と楕円$D$の共有点の座標を求めよ．

(2)　直線$l$と曲線$C$の共有点の座標を求めよ．

(3)　関数$f(x)$は常に単調に増加することを示せ．必要ならば，$3<\pi <3.2$であることを用いてもよい．

(4)　次の連立不等式の表す領域の面積を求めよ．

$\{\begin{array}{l}y\geqq 2\sqrt{3}x\\ y\leqq 2\sqrt{3}x+\sin \pi x\\ 4x^2+y^2\leqq 16\end{array}$

(5)　次の連立不等式の表す領域の面積を求めよ．

$\{\begin{array}{l}x\geqq 0\\ y\geqq 2\sqrt{3}x+\sin \pi x\\ 4x^2+y^2\leqq 16\end{array}$

【２】　実数$t$が$0<t<1$を満たすとする．$\mathrm{▵OAB}$において辺$\mathrm{OA}$上で$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=t\overrightarrow{\mathrm{OA}}$となる点を$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{OB}$上で$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=t^2\overrightarrow{\mathrm{OB}}$となる点を$\mathrm{Q}\text{，}$辺$\mathrm{AB}$上で$\overrightarrow{\mathrm{AR}}=t^2\overrightarrow{\mathrm{AB}}$となる点を$\mathrm{R}$とする．また，線分$\mathrm{QR}$の中点を$\mathrm{M}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}＝\overrightarrow{b}\text{，}$$\mathrm{▵OAB}$の面積を$S$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$を$t\text{，}$$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(2)　$\mathrm{▵APR}$の面積を$t\text{，}$$S$を用いて表せ．

(3)　$\mathrm{▵PQM}$の面積が最大になるときの$t$の値を求めよ．また，そのときの$\mathrm{▵PQM}$の面積を$S$を用いて表せ．

【３】　座標平面上で，$x$座標の値と$y$座標の値がともに整数である点$(x,y)$を格子点という．格子点$(x,y)$に対し，座標が$(x,y+1)\text{，}$$(x,y-1)\text{，}$$(x-1,y)\text{，}$$(x+1,y)$である点を，それぞれ上，下，左，右の隣接格子点という．座標平面上で，点$\mathrm{P}$が$1$回につき上下左右いずれかの隣接格子点に移動する．点$\mathrm{P}$は以下の手順に従って移動を繰り返すものとする．

(a)　はじめに点$\mathrm{P}$は原点$(0,0)$にあり，$k=1$とする．

(b)　右に$k$回移動する．

(c)　上に$2k$回移動する．

(d)　左に$k$回移動する．

(e)　下に$k$回移動する．

(f)　$k$を$1$増やし，(b)に戻って，(b)〜(f)を繰り返す．

全部で$n$回移動したときの点$\mathrm{P}$の座標を$(x_n,y_n)$で表す．例えば，

$(x_1,y_1)=(1,0)\text{，}$$(x_2,y_2)=(1,1)\text{，}$$(x_3,y_3)=(1,2)\text{，}$$(x_4,y_4)=(0,2)\text{，}$$(x_5,y_5)=(0,1)\text{，}$$(x_6,y_6)=(1,1)\text{，}$$(x_7,y_7)=(2,1)\text{，}$$(x_8,y_8)=(2,2)\text{，}\cdots$

である．また，数列$\{a_n\}$を$a_n=x_n+y_n$と定義する．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$が$100$回目に移動するときの$k$の値を求めよ．

(2)　$a_{2022}$を求めよ．

(3)　$a_n\geqq 5000$を満たす$n$の最小値を求めよ．

【４】　$1$から$10$までの異なる番号が書かれているカードが$1$枚ずつ計$10$枚袋に入っている．このとき，次の問いに答えよ．

(1)「袋からカードを$1$枚取り出して書かれている番号を記録し，そのカードを袋に戻さない」という試行を$4$回繰り返す．記録された4つの番号の最小値が偶数である確率を求めよ．

(2)「袋からカードを$1$枚取り出して書かれている番号を記録し，そのカードを袋に戻す」という試行を$4$回繰り返す．記録された$4$つの番号がすべて異なり，かつそれらの最小値が偶数である確率を求めよ．

【１】　次の連立不等式の表す領域の面積を求めよ．

(1)　$\{\begin{array}{l}y\geqq x^2\\ y\leqq x\end{array}$

(2)　$\{\begin{array}{l}y\geqq x^2\\ x^2+y^2\leqq 12\end{array}$

(3)　$\{\begin{array}{l}y\leqq x^2\\ y\geqq x\\ x^2+y^2\leqq 12\end{array}$