2022　奈良県立医科大学　後期医学科

【１】　関数$f_n(x)$$\text{（}n=0\text{，}$$1\text{，}$$\cdots \text{）}$を以下で定める．

$f_n(x)={\displaystyle {\int }_0^x}{\displaystyle \frac{{(t-x)}^{2n}}{(2n)!}}\cos (t)\mathit{dt}\text{．}$

ただし，$0!=1$とする．

(1)　$n>0$のとき，$f_n(x)$と$f_{n-1}(x)$との関係式を求めよ．

(2)　$n>0$に対して，等式

$\sin (x)={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{{(-1)}^{k-1}{x}^{2k-1}}{(2k-1)!}}$$-{(-1)}^{n-1}{f}_n(x)$

が成り立つことを証明せよ．

【２】　$p\text{，}$$q\text{，}$$r\text{，}$$s$は$ps-qr=1$を満たす実数定数とする．$xyz$空間上の二つのベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$は関係式

$|p\overrightarrow{a}+q\overrightarrow{b}|=1\text{，}$$|r\overrightarrow{a}+s\overrightarrow{b}|=1$

を同時に満たしながら変化しているものとする．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{u}\text{，}$$\overrightarrow{v}$を次のように定める．

$\overrightarrow{u}=p\overrightarrow{a}+q\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{v}=r\overrightarrow{a}+s\overrightarrow{b}\text{．}$

このとき$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を$\overrightarrow{u}\text{，}$$\overrightarrow{v}$を用いて表示せよ．

(2)　$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|$の最大値を求めよ．

【３】　$1$より大きい二つの正整数$a\text{，}$$b$は互いに素とする．

(1)　$0<k<b$を満たす任意の正整数$k$に対して，等式

$\left[{\displaystyle \frac{ka}{b}}\right]+\left[{\displaystyle \frac{(b-k)a}{b}}\right]=a-1$

成り立つことを証明せよ．但し，実数$r$に対して$[r]$は$r$を越えない最大の整数を表す．

(2)　等式

${\displaystyle \sum _{k=1}^{b-1}}\left[{\displaystyle \frac{ka}{b}}\right]={\displaystyle \frac{(a-1)(b-1)}{2}}$

が成り立つことを証明せよ．

【４】　$P(x)\text{，}$$Q(x)$はいずれも零でない実数係数の整式であり，以下の条件(C)を満たすとする．

条件(C)：$1-{P(x)}^2={Q(x)}^2(1-x^2)$

(1)　$P(x)P^{\prime }(x)$は$Q(x)$で割り切れることを証明せよ．（但し，$P^{\prime }(x)$は$P(x)$の導関数を表す．）

(2)　$P^{\prime }(x)$は$Q(x)$で割り切れることを証明せよ．

(3)　$P^{\prime }(x)=nQ(x)\text{，}$$\text{（}n$は整数）と表されることを証明せよ．