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2022-11621-0301
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2022 奈良県立医科大学 推薦医学部
医学科
易□ 並□ 難□
【1】 以下の空欄を適切に埋めて文章を完成させよ.
二等辺三角形 ABC を考える.辺 AB と辺 AC の長さはともに l で ∠BAC を θ とする.
(1) 二等辺三角形 ABC の面積 S は ア である.
(2) l を固定して θ を動かすとき, S が最大になるのは, θ= イ のときである.
(3) 二等辺三角形 ABC を辺 BC を軸として 1 回転させてできる立体の体積 V は ウ である.
(4) l を固定して θ を動かすとき, V が最大になるのは, sin⁡θ = エ のときである.
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【2】 以下の空欄を適切に埋めて文章を完成させよ.
n は 0 以上の整数とし, t は実数のパラメータで 0 ではないとする. t の整式 a n⁡( t) , bn⁡ (t ) を
∫ 01 xn⁢ e-t ⁢x⁢ dx= a n⁡( t)+ bn⁡ (t) ⁢e- t⁢ tn+ 1
で定める.このとき, a0⁡ (t) = ア , b0⁡ (t) = イ であり, a1⁡ (t) = ウ , b1⁡ (t) = エ である.一般に, 0 以上の整数 n に対して a n⁡( t)= オ であり, k を 0 ≦k≦n を満たす整数とすると,整式 bn⁡ (t ) の t k の係数は カ である.
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【3】 以下の空欄を適切な数,式,または語句で埋めて文章を完成させよ.
関数 f ⁡(x )=x +x2 +a を考える.ただし, a は正の定数とする.
(1) f⁡( x) は実数全体で定義された正の値をとる連続関数であり,
limx→ −∞ f⁡( x)= ア , limx →∞ (2⁢ x-f⁡ (x )) = イ
が成り立つ. f⁡( x) は微分可能であり,導関数は
d dx ⁢f⁡ (x )= ウ
となる.ここで, d dx ⁢f⁡ (x ) はすべての x に対して エ の値をとるので, f⁡( x) は単調 オ 関数となる.したがって, t=f⁡ (x ) の逆関数が存在し, x は t の関数として
x= カ
と表される.
(2) f⁡( x)> 0 であるので log ⁡f⁡( x) が定義でき,微分可能である.その導関数を計算すると
d dx ⁢log⁡ f⁡( x)= 1 キ
となる.さらに不定積分は
∫ log⁡f⁡ (x) ⁢dx = ク +C
( C は積分定数)
となる.
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【4】 以下の空欄を適切に埋めて文章を完成させよ.
x⁣y⁣ z 空間に 4 点 A (1, 1,0 ), B (3, 0,4 ), C (4, 3,1 ), D (0, 0,3 ) がある.点 P は直線 AB 上を一定の速度で動き,時刻 0 に点 A , 時刻 1 に点 B を通過する.また,点 Q は直線 CD 上を一定の速度で動き,時刻 0 に点 C , 時刻 1 に点 D を通過する.このとき,時刻 t での点 P の座標は ア であり,点 Q の座標は イ である.また,時刻 t での点 P , Q 間の距離は ウ であり, t= エ のとき, 2 点 P , Q は最も近づき,その距離は オ である.
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2022 奈良県立医科大学 推薦
【5】 2 以上の整数 n に対し,集合 S ⁡( n) を
S⁡( n)= { xy |x と y は n 以下の正の 整数で,最大公約数が 1 }
で定義する.
(1) S⁡( 2) , S⁡( 3) , S⁡( 4) の要素の個数を求めよ.
(2) S⁡( n) の要素の個数が奇数であることを示せ.
集合 T ⁡(n ) を T ⁡(n )={ |a- b| |a ∈S⁡ (n ) , b∈S ⁡(n ) かつ a≠ b} で定義する.
(3) T⁡( n) の要素の中で最小のものを求めよ.