2022　岡山県立大学　前期MathJax

【１】　$z=1+\sqrt{3}+(\sqrt{3}-1)i$とおく．ここで，$i$は虚数単位である．

(1)　$z=(1+\sqrt{3}i)(a+bi)$を満たす実数$a\text{，}$$b$を求めよ．

(2)　$z$を$r(\cos \theta +i\sin \theta )$の形で表せ．ただし，$r\geqq 0\text{，}$$0\leqq \theta <2\pi$とする．

(3)　$z^n$が正の実数となる$100$以下の自然数$n$の個数を求めよ．

【２】　三角形$\mathrm{ABC}$が$\mathrm{AB}=2\text{，}$$\mathrm{AC}=1\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$を満たすとする．辺$\mathrm{BC}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{D}$とし，$\mathrm{\angle ACB}$の二等分線と辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{E}$とする．

(1)　辺$\mathrm{BC}$の長さを求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表し，線分$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{CE}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表し，線分$\mathrm{CE}$の長さを求めよ．

(4)　線分$\mathrm{AD}$と線分$\mathrm{CE}$との交点を$\mathrm{F}$とするとき，$\cos \mathrm{\angle DFE}$を求めよ．

【３】　関数$f(x)=x^4+a{x}^3\text{，}$$g(x)=x+b\text{，}$$h(x)=x^2+cx+d$が$f(x)-g(x)={\{h(x)\}}^2$を満たしている．ただし，$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$は実数である．座標平面において曲線$y=f(x)$を$C\text{，}$直線$y=g(x)$を$l$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$の値を求めよ．

(2)　関数$f(x)$の最小値を求めよ．

(3)　曲線$C$と直線$l$との共有点の座標を求めよ．

(4)　曲線$C$と直線$l$とで囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

【４】　$n$を$2$以上の自然数とする．赤玉$n$個と白玉$3$個がある．この$n+3$個の玉すべてを$1$列に並べる．ただし，$n$個の赤玉は区別せず，$3$個の白玉も区別しない．以下の問いに答えよ．

(1)　並べ方は全部で何通りあるか．

(2)　白玉$3$個が隣り合う並べ方は何通りあるか．

(3)　白玉のうち$2$個は隣り合うが，$3$個は隣り合わない並べ方は何通りあるか．

(4)　白玉が隣り合う並べ方は何通りあるか．

(5)　白玉の間に赤玉$1$個を挟んだ「白赤白」が現れる並べ方は何通りあるか．