2022　岡山県立大学　中期MathJax

【１】　数列$\{a_n\}$を次のように定める．

$a_1=0\text{，}$$a_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{{(a_n)}^2+2a_n+8}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

次の問いに答えよ．

(1)　$a_n<2$が成り立つことを数学的帰納法で示せ．

(2)　$a_n<a_{n+1}$が成り立つことを示せ．

(3)　$a_n\geqq 2-{\displaystyle \frac{1}{2^{n-2}}}$が成り立つことを数学的帰納法で示せ．

(4)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$の値を求めよ．

【２】　台形$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{OC}$が平行で$\mathrm{AB}={\displaystyle \frac{1}{3}}\mathrm{OC}$である．辺$\mathrm{OA}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{OC}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{Q}\text{，}$線分$\mathrm{OB}$と線分$\mathrm{AQ}$との交点を$\mathrm{R}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$のそれぞれを$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(3)　$3$点$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{R}\text{，}$$\mathrm{P}$は同一直線上にあることを示せ．

(4)　三角形$\mathrm{APR}$の面積を$S$としたとき，三角形$\mathrm{OQR}$の面積を$S$を用いて表せ．

(5)　$\left|\overrightarrow{a}\right|=3\text{，}$$\left|\overrightarrow{c}\right|=5\text{，}$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}=1$のとき，三角形$\mathrm{APR}$の面積$S$を求めよ．

【３】　関数$f(x)=x^2(x+3)$と正の実数$p$を考える．座標平面において曲線$y=f(x)$を$C$とし，$C$を$x$軸方向に$p$だけ平行移動した曲線を$C_p$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　曲線$C_p$が$y$軸と交わる点を求めよ．

(2)　曲線$C$と曲線$C_p$が異なる$2$点で交わるような$p$の範囲を求めよ．

(3)　(2)で求めた$p$の範囲において，曲線$C$と曲線$C_p$とで囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

(4)　$S$が最大になるときの$p$の値を求めよ．

【４】　座標平面上で，原点を出発点として点$\mathrm{P}$を動かす．文字$\mathrm{X}$が書かれたカード$\mathrm{X}$と文字$\mathrm{Y}$が書かれたカード$\mathrm{Y}$がそれぞれ$1$枚あり，何も書かれていないカード$$が$8$枚ある．これら$10$枚のカードから無作為に$1$枚引いて，カードを確認した後，元に戻す．引いたカードに応じて，点$\mathrm{P}$を次のように動かす．

•$\mathrm{X}$であれば，$x$軸方向に$+1$だけ移動する．

•$\mathrm{Y}$であれば，$y$軸方向に$+1$だけ移動する．

•$$であれば，移動しない．

点$\mathrm{Q}$の座標を$(-1,-1)$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　カードを$2$回引いたとき，直線$\mathrm{PQ}$の傾きが$1$にならない確率$p_1$を求めよ．

(2)　カードを$4$回引いたとき，直線$\mathrm{PQ}$の傾きが$1$になる確率$p_2$を求めよ．

(3)　カードを$5$回引いたとき，$5$回目が$\text{X}$で，直線$\mathrm{PQ}$の傾きが$1$以上になる確率$p_3$を求めよ．