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2022-11831-0401
2022 高知工科大学 総合選抜システム工学群
易□ 並□ 難□
【1】 平面上に異なる 4 点 O , A , B , C があり,
OA→ +3⁢AB →+7 ⁢BC→ =2⁢ OC→
が成り立っている.また, 3 点 O , A , B は同一直線上にないとする.
(1) OC→ を OA→ , OB→ を用いて表せ.
(2) 直線 AB と直線 OC の交点を P とする.線分の長さの比の値 OPOC , APAB を求めよ.
(3) | OA→ |= 2⁢3 , | OB→ |= 3 とする. OC→ ⊥AB→ のとき,内積 OA →⋅ OB→ を求めよ.またこのとき,四角形 OACB の面積を求めよ.
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【2】 0≦θ ≦π で定義された関数 f ⁡(θ ) を
f⁡( θ)= 2⁢sin⁡ θ⁢cos 3⁡θ -2⁢sin ⁡θ⁢cos ⁡θ - cos2⁡ θ+3
とする.また, t=sin⁡ 2⁢θ+ cos⁡2⁢ θ とおく.
なお必要に応じて三角関数の加法定理 sin ⁡(α +β) =sin⁡α ⁢cos⁡β +cos⁡α ⁢sin⁡β , および cos⁡ (α+ β)= cos⁡α⁢ cos⁡β- sin⁡α⁢ sin⁡β を用いてよい.
(1) 0≦θ ≦π のとき, t の値の範囲を求めよ.
(2) f⁡( θ) を t を用いて表せ.
(3) f⁡( θ) の最大値,最小値とそのときの θ の値をそれぞれ求めよ.
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【3】 関数 f ⁡(x ) を
f⁡( x)= { 2⁢x2 +2⁢x ( x≦0 ) x2- 2⁢x ( x≧0 )
とする. a を実数の定数とし,直線 y =a⁢x と曲線 y =f⁡( x) が原点 O とは異なる 2 点 P , Q で交わるとする.ただし, P , Q の x 座標をそれぞれ x 1 , x2 とおくと, x1< 0<x2 が成り立つとする.
(1) x1 , x2 の値をそれぞれ a を用いて表せ.また, a のとり得る値の範囲を求めよ.
(2) 曲線 y =f⁡( x) と線分 OP で囲まれた部分の面積を S 1 , 曲線 y =f⁡( x) と線分 OQ で囲まれた部分の面積を S 2 とおく. S1 , S2 をそれぞれ a を用いて表せ.
(3) (2)で求めた S 1 , S2 に対して, S⁡( a)= S1+ S2 とおく. a が(1)で求めた範囲を変化するとき, S⁡( a) の最小値とそのときの a の値を求めよ.