2022　高知工科大学　総合選抜情報学群数学②MathJax

【１】　$1$辺の長さが$1$の正方形で，色が赤か白か青の$3$種類のタイルがある．これらのタイルを，縦の長さが$1\text{，}$横の長さが$5$の長方形の壁に過不足なく貼り合わせる．このときのタイルの貼り方の場合の数を考える．ただし，色の並びが同じものは同じ貼り方であるとする．空欄$\text{ア}\text{〜}$$\text{コ}$にあてはまる数をそれぞれ答えなさい．

(1)　$5$枚のタイルの貼り方は全部で$\text{ア}$通りある．

　赤のタイルを$3$枚と白のタイルを$2$枚使った貼り方は全部で$\text{イ}$通りある．また，赤のタイルを$2$枚，白のタイルを$2$枚，青のタイルを$1$枚使った貼り方は全部で$\text{ウ}$通りある．

　貼り合わせた$5$枚のタイルの色が赤と白の$2$種類（ただし，どちらかの色のみとなるものは考えない）になる貼り方は全部で$\text{エ}$通りある．貼り合わせた$5$枚のタイルの色がちょうど$2$種類になるような貼り方は全部で$\text{オ}$通りある．

　貼り合わせた$5$枚のタイルの色が$3$種類になるような貼り方は全部で$\text{カ}$通りある．

(2)　同じ色のタイルが連続しないような貼り方を考える．

　貼り合わせた$5$枚のタイルのうち，赤のタイルが左端の$1$枚だけになるような貼り方は全部で$\text{キ}$通りある．また，赤のタイルがちょうど$1$枚だけになるような貼り方は全部で$\text{ク}$通りある．

　左端が赤のタイルになるような貼り方は全部で$\text{ケ}$通りある．

　同じ色のタイルが連続しないような貼り方は全部で$\text{コ}$通りある．

【２】　$n$は自然数とする．次のような$3$種類のタイルがある．

タイル$\mathrm{A}$：$2$辺の長さがともに$1$の正方形で赤色．

タイル$\mathrm{B}$：$2$辺の長さがともに$1$の正方形で白色．

タイル$\mathrm{C}$：$2$辺の長さが$1$と$2$の長方形で青色．

これら$3$種類のタイルを，縦の長さが$1\text{，}$横の長さが$n$の長方形の壁に過不足なく貼り合わせる．そのときのタイルの貼り方の総数を$a_n$とする．ただし，色の並びが同じものは同じ貼り方であるとする．

(1)　$a_1$と$a_2$をそれぞれ求めなさい．

(2)　$n\geqq 3$のとき，$a_n$を$a_{n-1}$と$a_{n-2}$を用いた式で表しなさい．また，なぜその式が成り立つのかを説明しなさい．

【３】　$n$は自然数とする．次のような$3$種類のタイルがある．

タイル$\mathrm{D}$：$2$辺の長さがともに$1$の正方形で赤色．

タイル$\mathrm{E}$：$2$辺の長さが$1$と$2$の長方形で白色．

タイル$\mathrm{F}$：$2$辺の長さが$2$と$1$の長方形で青色．

これら$3$種類のタイルを，縦の長さが$2\text{，}$横の長さが$n$の長方形の壁に過不足なく貼り合わせる．ただし，タイル$\mathrm{E}$は横の長さが$2$となる向きで貼り，タイルFは縦の長さが$2$となる向きで貼る．例として，$n=4$のときの貼り方の$2$つを以下に示す．

　縦の長さが$2\text{，}$横の長さが$n$の長方形の壁に過不足なく貼り合わせるタイルの貼り方の総数を$b_n$とする．ただし，色の並びが同じものは同じ貼り方であるとする．

(1)　$b_1$と$b_2$をそれぞれ求めなさい．

(2)　$b_n$を求めなさい．解答の過程も記述しなさい．