2022　北九州市立大学　前期

【１】　以下の問いの空欄に入れるのに適する数値を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問１　$3675$の正の約数の個数は$\text{ア}$である．

【１】　以下の問いの空欄に入れるのに適する数値を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問２　$2$次不等式$a{x}^2+bx+18>0$の解が$-1<x<2$であるとき，定数$a\text{，}$$b$はそれぞれ$a=\text{イ}\text{，}$$b=\text{ウ}$である．

【１】　以下の問いの空欄に入れるのに適する数値を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問３　半径$r$の円$O$と半径$6$の円$O^{\prime }$について，中心間の距離が$20$であるとする．$2$つの円が内接するとき$r$の値は$\text{エ}$であり，外接するとき$r$の値は$\text{オ}$である．また，$2$つの円が外接し，直線が異なる$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$で$2$つの円と接しているとき，線分$\mathrm{AB}$の長さは$\text{カ}$である．

【１】　以下の問いの空欄に入れるのに適する数値を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問４　$1$袋$450$円のバナナと，$1$袋$300$円のぶどうを合わせて$20$袋買い，$200$円の箱に入れて送ることを考える．バナナの重さは$1$袋あたり$600\mathrm{g}\text{，}$ぶどうの重さは$1$袋あたり$450\mathrm{g}\text{，}$箱の重さは$150\mathrm{g}$であり，送料は重さによらず$700$円かかるとする．箱を入れて重さは$10\mathrm{kg}$以下，箱代および送料を入れて代金は$8000$円以下という条件でバナナをなるべく多く買うためには，バナナを$\text{キ}$袋，ぶどうを$\text{ク}$袋買えばよい．

【１】　以下の問いの空欄に入れるのに適する数値を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問５　$8$人の陸上選手$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}\text{，}$$\mathrm{G}\text{，}$$\mathrm{H}$に$8$つのレーンを抽選で割り当てるとき，$\mathrm{G}$と$\mathrm{H}$が隣り合わない確率は$\text{ケ}$であり，$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$のどの$2$人の選手も隣り合わない確率は$\text{コ}$である．

【２】　以下の問いの空欄に入れるのに適する数値または式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問１　$2$次方程式$x^2-4(m-1)x+2m=0$が異なる$2$つの実数解$\alpha \text{，}$$\beta$を持つとき，$\alpha <0\text{，}$$\beta <0$となる定数$m$の範囲は$\text{サ}$である．

【２】　以下の問いの空欄に入れるのに適する数値または式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問２　同じ品質のガラス板を$7$枚重ねて光を透過させたら，光の強さがはじめの${\displaystyle \frac{1}{6}}$倍になった．透過した光の強さをはじめの${\displaystyle \frac{1}{1000}}$倍以下にするには，このガラス板を$\text{シ}$枚以上重ねればよい．ただし，${\log }_{10}2=0.301\text{，}$${\log }_{10}3=0.477$とする．

【２】　以下の問いの空欄に入れるのに適する数値または式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問３　$\mathrm{▵ABC}$における頂点の座標が$\mathrm{A}$$(-1,11)\text{，}$$\mathrm{B}$$(3,-1)$で，重心$\mathrm{G}$の座標が$(-1,1)$であったとき，頂点$\mathrm{C}$の座標は$(\text{ス}，\text{セ})\text{，}$頂点$\mathrm{C}$と重心$\mathrm{G}$を直径の両端とする円の方程式は$\text{ソ}$である．

【２】　以下の問いの空欄に入れるのに適する数値または式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問４　$\tan \alpha =-2$のとき，$\sin 2\alpha$は$\text{タ}\text{，}$$\cos 2\alpha$は$\text{チ}$である．

【２】　以下の問いの空欄に入れるのに適する数値または式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問５　$a_1=3\text{，}$$a_{n+1}=3a_n+4n-6$で定義される数列$\{a_n\}$について$b_n=a_n+2n$とおくとき，$b_n$と$b_{n+1}$の関係式は$\text{ツ}\text{，}$一般項$a_n$は$\text{テ}$である．

【３】　関数$f(x)\text{，}$$g(x)$を，

$f(x)={\displaystyle {\int }_0^x}{e}^{-t}\cos t\mathit{dt}\text{，}$$g(x)={\displaystyle {\int }_0^x}{e}^{-t}\sin t\mathit{dt}$

とおく．以下の問いに答えよ．問１では，空欄に入れるのに適する数値または式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．問２と問３では，答えを導く過程も示すこと．

問１　関数$e^{-t}\cos t\text{，}$$e^{-t}\sin t$の導関数は

${\displaystyle \frac{d}{\mathit{dt}}}(e^{-t}\cos t)=\text{ナ}$$\cdots$(3.1)

${\displaystyle \frac{d}{\mathit{dt}}}(e^{-t}\sin t)=\text{ニ}$$\cdots$(3.2)

と表される．(3.1)，(3.2)の両辺をそれぞれ$t$について$0$から$x$まで積分すると

$\text{ヌ}=-f(x)-g(x)$$\cdots$(3.3)

$\text{ネ}=f(x)-g(x)$$\cdots$(3.4)

となる．(3.3)，(3.4)より，$f(x)\text{，}$$g(x)$は

$f(x)=\text{ノ}$

$g(x)=\text{ハ}$

と表される．ここで

${\displaystyle \frac{d}{\mathit{dx}}}\{f(x)-g(x)\}=\text{ヒ}$

${\displaystyle \frac{d^2}{{\mathit{dx}}^2}}(f(x)-g(x)\}=\text{フ}$

である．

問2(1)　関数$y=f(x)-g(x)$$\text{（}0\leqq x\leqq 2\pi \text{）}$の極値を求めよ．

(2)　曲線$y=f(x)-g(x)$$\text{（}0\leqq x\leqq 2\pi \text{）}$の変曲点を求めよ．

問３　定積分

${\displaystyle {\int }_0^{2\pi }}{e}^{-t}(|\cos t|+|\sin t|)\mathit{dt}$

を求めよ．

【４】　座標空間に$4$点$\mathrm{A}$$(1,1,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(3,2,1)\text{，}$$\mathrm{C}$$(4,-2,6)\text{，}$$\mathrm{D}$$(3.5.2)$がある．以下の問いに答えよ．答えを導く過程も示すこと．

問１　$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$がなす角$\theta$を求めよ．ただし，$0\mathrm{°}\leqq \theta \leqq 180\mathrm{°}$とする．

問２　点$\mathrm{B}$から直線$\mathrm{AC}$に下ろした垂線と直線$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{H}$とする．点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．

問３　$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の定める平面を$\alpha$とする．点$\mathrm{D}$から平面$\alpha$に下ろした垂線と平面$\alpha$の交点を$\mathrm{P}$とする．線分$\mathrm{DP}$の長さを求めよ．

問４　四面体$\mathrm{ABCD}$の体積を求めよ．

【１】　数列$\{a_n\}$は，初項$a_1={\displaystyle \frac{1}{2}}$であり，次の式を満たすとする．

$a_n-a_{n+1}=2(n+1)a_n{a}_{n+1}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

また，数列$\{b_n\}$を，$b_n={\displaystyle \frac{1}{a_n}}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$と定める．以下の問題に答えよ，

(1)　$a_2$と$a_3$を求めよ，

(2)　すべての自然数$n$に対して，$a_n>0$であることを示せ．

(3)　数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

(4)　数列$\{b_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$を求めよ．

(5)　数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$T_n$を求めよ．

【２】　座標平面上の$2$つの曲線$C_1\text{：}y=a{x}^2\text{，}$$C_2\text{：}y={\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3+b$を考える．ただし，$a>0\text{，}$$b>0$とする．曲線$C_1$と曲線$C_2$の共有点は点$\mathrm{P}$$(p,a{p}^2)$と点$\mathrm{Q}$$(q,a{q}^2)$の$2$点のみとし，これらの曲線で囲まれた図形の面積を$S$とする．ただし，$p<q$とする．以下の問題に答えよ．

(1)　$b$の値を$a$を用いて表せ．

(2)　$p$と$q$の値を$a$を用いて表せ．

(3)　面積$S$を$a$を用いて表せ．

(4)　点$\mathrm{P}$を通る直線$l\text{：}y=mx+n$が曲線$C_1$と，点$\mathrm{P}$とは異なる点$\mathrm{R}$$(r,a{r}^2)$で交わるとし，直線$l$と曲線$C_1$で囲まれた図形の面積を$T$とする．$S=4T$となる$m$と$n$の値を$a$を用いて表せ．

【３】　正方形$\mathrm{ABCD}$を考える．辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{P}$をとる．ただし，点$\mathrm{P}$は点$\mathrm{A}\text{，}$点$\mathrm{B}$とは異なるものとする．線分$\mathrm{PD}$を折り目として点$\mathrm{A}$を折り返した点を${\mathrm{A}}^{\prime }$とする．線分$\mathrm{PD}$の長さを$a\text{，}$$\mathrm{\angle }{\mathrm{A}}^{\prime }\mathrm{DP}=\theta$とし，正方形$\mathrm{ABCD}$の面積を$S_1\text{，}$三角形$\mathrm{A}{\mathrm{A}}^{\prime }\mathrm{D}$の面積を$S_2\text{，}$三角形${\mathrm{A}}^{\prime }\mathrm{CD}$の面積を$S_3$とする．以下の問題に答えよ．

(1)　$\theta =15\mathrm{°}$のとき，辺$\mathrm{A}{\mathrm{A}}^{\prime }$の長さを$a$を用いて表せ．

(2)　辺${\mathrm{A}}^{\prime }\mathrm{P}$と辺${\mathrm{A}}^{\prime }\mathrm{D}$の長さの和が${\displaystyle \frac{\sqrt{5}a}{2}}$であるとき，面積比${\displaystyle \frac{S_1}{S_2}}$を求めよ．

(3)　$\tan \theta =\sqrt{2}-1$であるとき，面積比${\displaystyle \frac{S_1}{S_2}}$を求めよ．

(4)　面積比${\displaystyle \frac{S_2}{S_3}}$を$\tan \theta$を用いて表せ．

(5)　$k={\displaystyle \frac{S_2}{S_3}}$とおく．辺の長さの比${\displaystyle \frac{{\mathrm{A}}^{\prime }\mathrm{C}}{\mathrm{A}{\mathrm{A}}^{\prime }}}$を$k$を用いて表せ．

【４】　自然数$l\text{，}$$m\text{，}$$n$に対して，集合$A(l,m,n)$を

$A(l,m,n)$$=\{2^a{3}^b{6}^{-c}|1\leqq a\leqq l\text{，}$$1\leqq b\leqq m\text{，}$$1\leqq c\leqq n\text{，}$$a\text{，}b\text{，}c\text{は自然数}\}$

で定める．例えば，

$A(1,1,1)=\{1\}\text{，}$$A(2,2,1)=\{1,2,3,6\}\text{，}$

$A(2,1,2)=\{{\displaystyle \frac{1}{6}},{\displaystyle \frac{1}{3}},1,2\}\text{，}$$A(2,2,2)=\{{\displaystyle \frac{1}{6}},{\displaystyle \frac{1}{3}}.{\displaystyle \frac{1}{2}},1,2,3,6\}$

となり，$A(2,2,2)$に含まれる要素の数は$7$となる．以下の問題に答えよ．

(1)集合$A(l,m,1)$に含まれる要素の数を求めよ．

(2)　集合$A(10,11,1)$の中から無作為に$1$つの要素を選んだとき，それが$6$の倍数である確率を求めよ．

(3)　集合$A(3,4,3)$に含まれる要素の数を求めよ．

(4)　集合$A(3,4,5)$に含まれる要素の数を求めよ．

　$1$から$6$の目があるさいころを投げ，出た目を$d$とし，集合$A(3,4,d)$から無作為に$1$つの要素を取り出す操作を行う．

(5)　取り出した要素が自然数である確率を求めよ．

(6)　取り出した要素が自然数であるとき，さいころの目$d$が$5$である確率を求めよ．