2022　北九州市立大学　後期

【１】　以下の問いの空欄に入れるのに適する数値を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問１　$2$次関数$y=a{x}^2+bx-a^2+5a+10$が$x=3$で最大値$5$をとるとき，$a=\text{ア}\text{，}$$b=\text{イ}$である．また，そのときの$2$次関数のグラフが$x$軸と交わる$2$点とグラフの頂点で作られる三角形の面積は$\text{ウ}$である．

【１】　以下の問いの空欄に入れるのに適する数値を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問２　三角形$\mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{AC}$上にそれぞれ点$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}$があり，${\displaystyle \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AE}}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$とする．

(1)　${\displaystyle \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{BD}}}={\displaystyle \frac{2}{3}}\text{，}$${\displaystyle \frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{CE}}}=3$のとき，四角形$\mathrm{BCED}$の面積は三角形$\mathrm{ADE}$の面積の$\text{エ}$倍である．

(2)　直線$\mathrm{DE}$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{F}$とする．${\displaystyle \frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{CE}}}=3$のとき，${\displaystyle \frac{\mathrm{BF}}{\mathrm{CF}}}=\text{オ}$である．

【１】　以下の問いの空欄に入れるのに適する数値を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問３　数直線上を動く点$\mathrm{P}$が座標$-5$の位置にある．それから1個のサイコロを投げて出た目の数だけ$\mathrm{P}$を進める試行を繰り返す．ただし，$\mathrm{P}$の座標が負の数であるときは正の向きに進め，正の数であるときは負の向きに進めるものとし，$\mathrm{P}$の座標が$0$または$+5$になった時点でサイコロを投げるのを停止する．

(1)　$2$回目に$\mathrm{P}$の座標が$+5$になる確率は$\text{カ}$である．

(2)　$2$回目に$\mathrm{P}$の座標が$0$になるとき，$1$回目と$2$回目のサイコロの目の組み合わせは$\text{キ}$通りである．

(3)　サイコロを$3$回以上投げることができる確率は$\text{ク}$である．

【２】　点$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に，$4$つの点$\mathrm{A}$$(-1,1,1)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,2,2)\text{，}$$\mathrm{C}$$(0,-1,2)\text{，}$$\mathrm{D}$$(1,1,1)$がある．以下の問いに答えよ．問１については，空欄に入れるのに適する数値，ベクトルまたは数式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．問２と問３については，答えを導く過程も記すこと．

問１　$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$は，成分を用いて

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\text{サ}\text{．}$$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\text{シ}$

と表されるから

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\text{ス}$

となる．このとき，$\mathrm{▵ABC}$の面積$S$は

$S=\text{セ}$

である．

　次に，$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の定める平面を$\alpha$とする．平面$\alpha$上の任意の点$\mathrm{P}$は，実数$s\text{，}$$t$を用いて

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+s\overrightarrow{\mathrm{AB}}+t\overrightarrow{\mathrm{AC}}$

と表すことができる．これを踏まえると，$\overrightarrow{\mathrm{PD}}$は$s\text{，}$$t$を用いて

$\overrightarrow{\mathrm{PD}}=(\text{ソ},\text{タ},\text{チ})$

と与えられる．

問２　四面体$\mathrm{ABCD}$の体積を求めよ．

問３　点$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}$を$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+2\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OF}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AC}}$により定める．四面体$\mathrm{AEFD}$の体積を求めよ．

【３】　$t$を媒介変数として

$x=\sin t\text{，}$$y=\sin 2t$$(0\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

で表される曲線$C$について，以下の問いに答えよ．問１と問２については，空欄に入れるのに適する数値，記号または数式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．問３については，グラフを解答箇所にかけ．問４については，答えを導く過程も記すこと．

問１　$0<t<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$において

${\displaystyle \frac{\mathit{dx}}{\mathit{dt}}}=\text{ナ}\text{，}$${\displaystyle \frac{\mathit{dy}}{\mathit{dt}}}=\text{ニ}$

である．また，$t$を用いて

${\displaystyle \frac{\mathit{dy}}{\mathit{dx}}}=\text{ヌ}$

である．

問２　曲線$C$を表す関数の増減表を完成せよ．

問３　曲線$C$を表す関数のグラフをかけ．

問４　曲線$C$と$x$軸で囲まれた部分を，$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．