2022　慶応義塾大学　理工学部

【１】(1)　$\overrightarrow{a}=(\sqrt{3},0,1)$とする．空間のベクトル$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$はともに大きさが$1$であり，$\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{b}\perp \overrightarrow{c}\text{，}$$\overrightarrow{c}\perp \overrightarrow{a}$とする．

(ⅰ)　$p\text{，}$$q\text{，}$$r$を実数とし，$\overrightarrow{x}=p\overrightarrow{a}+q\overrightarrow{b}+r\overrightarrow{c}$とするとき，内積$\overrightarrow{x}\cdot \overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{x}$の大きさ$\left|\overrightarrow{x}\right|$を$p\text{，}$$q\text{，}$$r$を用いて表すと，$\overrightarrow{x}\cdot \overrightarrow{a}=\text{(ア)}\text{，}$$\left|\overrightarrow{x}\right|=\text{(イ)}$である．

(ⅱ)　$(5,0,z)=s\overrightarrow{a}+(\cos \theta )\overrightarrow{b}+(\sin \theta )\overrightarrow{c}$を満たす実数$s\text{，}$$\theta$が存在するような実数$z$は$2$個あるが，それらをすべて求めると$z=\text{(ウ)}$である．

【１】(2)　$n$を奇数とする．$n$と$\left[{\displaystyle \frac{3n+2}{2}}\right]$の積が$6$の倍数であるための必要十分条件は，$n$を$\text{(エ)}$で割ったときの余りが$\text{(オ)}$となることである．ただし，実数$x$に対し$x$を超えない最大の整数を$[x]$と表す．また，$\text{(エ)}\text{，}$$\text{(オ)}$は$0\leqq \text{(オ)}<\text{(エ)}$を満たす整数である．$\text{(エ)}\text{，}$$\text{(オ)}$を求める過程を解答欄(2)に記述しなさい．

【２】　$r$を正の実数とし，円$C_1\text{：}{(x-2)}^2+y^2=r^2\text{，}$楕円$C_2\text{：}{\displaystyle \frac{x^2}{9}}+y^2=1$を考える．

(1)　円$C_1$と楕円$C_2$の共有点が存在するような$r$の値の範囲は$\text{(カ)}\leqq r\leqq \text{(キ)}$である．

(2)　$r=1$のとき，$C_1$と$C_2$の共有点の座標をすべて求めると$\text{(ク)}$である．これらの共有点のうち$y$座標が正となる点の$y$座標を$y_0$とする．連立不等式

$\{\begin{array}{l}{(x-2)}^2+y^2\leqq 1\\ 0\leqq y\leqq y_0\end{array}$

の表す領域の面積は$\text{(ケ)}$である．

(3)　連立不等式

$\{\begin{array}{l}{(x-2)}^2+y^2\leqq 1\\ {\displaystyle \frac{x^2}{9}}+y^2\geqq 1\\ y\geqq 0\end{array}$

の表す領域を$D$とする．$D$を$y$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積は$\text{(コ)}$である．

【３】　最初に袋の中に白玉が$1$個入っている．次の規則に従って，$1$回の操作につき白玉または赤玉を$1$個ずつ加えていく．

・$1$回目の操作では，コインを投げ，表が出たときには赤玉を袋の中に$1$個加え，裏が出たときには白玉を袋の中に$1$個加える．

・$2$回目以降の操作では，コインを投げ，表が出たときには赤玉を袋の中に$1$個加え，裏が出たときには袋から玉を$1$個無作為に取り出し，その色を見てから袋に戻し，さらに同じ色の玉を袋の中に$1$個加える．

(1)　$2$回目の操作を終えたとき，袋の中に白玉がちょうど$2$個入っている確率は$\text{(サ)}$である．

(2)　$3$回目の操作を終えたとき，コインの表が$2$回，裏が$1$回出ていたという条件の下で，袋の中に白玉がちょうど$2$個入っている条件つき確率は$\text{(シ)}$である．

　以下，$k$は$2$以上の整数とし，$k$回目の操作を終えたときを考える．

(3)　袋の中に白玉のみが入っている確率は$\text{(ス)}$である．

(4)　$1$回目の操作で赤玉を加えたという条件の下で，袋の中に白玉がちょうど$k$個入っている条件つき確率は$\text{(セ)}$である．

(5)　袋の中に白玉がちょうど$k$個入っている確率は$\text{(ソ)}$である．

【４】　曲線$C\text{：}y=e^x$を考える．

(1)　$a\text{，}$$b$を実数とし，$a\geqq 0$とする．曲線$C$と直線$y=ax+b$が共有点をもつための$a$と$b$の条件を求め，求める過程とともに解答欄(1)に記述しなさい．

(2)　正の実数$t$に対し，$C$上の点$\mathrm{A}$$(t,e^t)$を中心とし，直線$y=x$に接する円$D$を考える．直線$y=x$と円$D$の接点$\mathrm{B}$の$x$座標は$\text{(タ)}$であり，円$D$の半径は$\text{(チ)}$である．線分$\mathrm{AB}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{P}$とし，$\mathrm{P}$の$x$座標，$y$座標をそれぞれ$X(t)\text{，}$$Y(t)$とする．このとき，等式

$\underset{t\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{Y(t)-kX(t)}{\sqrt{{\{X(t)\}}^2+{\{Y(t)\}}^2}}}=0$

が成り立つような実数$k$を求めると$k=\text{(ツ)}$である．ただし，$\underset{t\to \infty }{\lim }t{e}^{-t}=0$である．

【５】　半径$4\sqrt{2}$の球面$S$上に$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$があり，線分$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CA}$の長さはそれぞれ$\mathrm{AB}=4\sqrt{6}\text{，}$$\mathrm{BC}=10\text{，}$$\mathrm{CA}=6$とする．

(1)　$\cos \mathrm{\angle ABC}=\text{(テ)}$である．平面$\mathrm{ABC}$で球面$S$を切った切り口の円を$T$とする．$T$の半径は$\text{(ト)}$である．点$\mathrm{D}$が円$T$上を動くとき，$\mathrm{▵DAB}$の面積の最大値は$\text{(ナ)}$である．

(2)　球面$S$の中心$\mathrm{O}$から平面$\mathrm{ABC}$に下ろした垂線$\mathrm{OH}$の長さは$\text{(ニ)}$である．

(3)　点$\mathrm{E}$が球面$S$上を動くとき，三角錐$\mathrm{EABC}$の体積の最大値は$\text{(ヌ)}$である．