2022　慶応義塾大学　経済学部MathJax

【１】　座標平面上の四角形$\mathrm{ABCD}$は以下の条件を満たすとする．

(a)　頂点$\mathrm{A}$の座標は$(-1,-1)$である．

(b)　四角形の各辺は原点を中心とする半径$1$の円と接する．

(c)　$\mathrm{\angle BCD}$は直角である．

　また，辺$\mathrm{AB}$の長さを$l$とし，$\mathrm{\angle ABC}=\theta$とする．

(1)　$\mathrm{\angle BAD}={\displaystyle \frac{\pi }{\text{(1)}}}$である．

(2)　辺$\mathrm{CD}$の長さが${\displaystyle \frac{5}{3}}$であるとき，$l={\displaystyle \frac{\text{(2)}}{\text{(3)}}}\text{，}$$\tan \theta ={\displaystyle \frac{\text{(4)}\text{(5)}}{\text{(6)}}}$である．

(3)　$\theta$は鋭角とする．四角形$\mathrm{ABCD}$の面積が$6$であるとき，$l=\text{(7)}+\sqrt{\text{(8)}}\text{，}$$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{\text{(9)}}}$である．

【２】　数列$\{a_n\}$は

$a_{n+1}=-\left|a_n\right|-{\displaystyle \frac{1}{2}}{a}_n+5$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たすとする．

(1)　$a_1={\displaystyle \frac{1}{2}}$ならば，$a_2={\displaystyle \frac{\text{(10)}\text{(11)}}{\text{(12)}}}\text{，}$$a_3=-{\displaystyle \frac{\text{(13)}\text{(14)}}{\text{(15)}}}$である．

(2)　$-2\leqq a_n\leqq -1$ならば，$a_{n+1}$および$a_{n+2}$の取り得る値の範囲は，それぞれ$\text{(16)}\leqq a_{n+1}\leqq {\displaystyle \frac{\text{(17)}}{\text{(18)}}}\text{，}$$-{\displaystyle \frac{\text{(19)}}{\text{(20)}}}\leqq a_{n+2}\leqq -\text{(21)}$である．

　以下，$a_1=2+{\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^{10}$とする．

(3)　$a_n<0$となる自然数$n$のうち最小のものを$m$とすると，$m=\text{(22)}\text{(23)}$である．

(4)　(3)の$m$に対して，自然数$k$が$2k\geqq m$を満たすとき，

$a_{2k+2}=-{\displaystyle \frac{\text{(24)}}{\text{(25)}}}{a}_{2k}-{\displaystyle \frac{\text{(26)}}{\text{(27)}}}$

より，

$a_{2k}=-{\displaystyle \frac{\text{(28)}\text{(29)}}{\text{(30)}}}+{\displaystyle \frac{3}{\text{(31)}\text{(32)}}}{(-{\displaystyle \frac{\text{(33)}}{\text{(34)}}})}^{k-\text{(35)}}$

が成り立つ．

【３】　$x$の関数が印刷されているカード$25$枚が$1$つの袋に入っている．その内訳は，$11$枚に$1-3x\text{，}$$9$枚に$1-2x\text{，}$$4$枚に$1-2x+2x^2\text{，}$$1$枚に$1-3x+5x^2$である．この袋からカードを$1$枚取り出し，印刷されている関数を記録してから袋に戻すことを$100$回繰り返したところ，記録の内訳は$1-3x$が$46$回，$1-2x$が$35$回，$1-2x+2x^2$が$15$回，$1-3x+5x^2$が$4$回であった．

(1)　記録された関数の実数$x$における値を$a_1\text{，}$$a_2\text{，}\cdots \text{，}$$a_{100}$とおく．$a_1\text{，}$$a_2\text{，}\cdots \text{，}$$a_{100}$の平均値は，$x$の値を定めるとそれに対応して値が定まるので，$x$の関数である．この関数は$x={\displaystyle \frac{\text{(36)}}{\text{(37)}}}$のとき最小となり，その値は$-{\displaystyle \frac{\text{(38)}\text{(39)}}{\text{(40)}}}$である．

(2)　記録された関数の$x=0$から$x=1$までの定積分を$b_1\text{，}$$b_2\text{，}\cdots \text{，}$$b_{100}$とおく．$b_1\text{，}$$b_2\text{，}\cdots \text{，}$$b_{100}$の平均値は$-{\displaystyle \frac{\text{(41)}}{\text{(42)}\text{(43)}}}$であり，分散は${\displaystyle \frac{\text{(44)}\text{(45)}}{\text{(46)}\text{(47)}}}$である．また，記録された関数の$x=1$における値を$c_1\text{，}$$c_2\text{，}\cdots \text{，}$$c_{100}$とおくとき，$100$個のデータの組$(b_1,c_1)\text{，}$$(b_2,c_2)\text{，}\cdots \text{，}$$(b_{100},c_{100})$の共分散は${\displaystyle \frac{\text{(48)}\text{(49)}}{\text{(50)}\text{(51)}}}$である．

(3)　カードがすべて袋に入った状態から$1$枚取り出したとき，印刷されている関数の$x=1$における値が負である条件のもとで，その関数の$0$から$1$までの定積分が負である条件付き確率は${\displaystyle \frac{\text{(52)}\text{(53)}}{\text{(54)}\text{(55)}}}$である．

【４】　$t$を実数とする．また，$\mathrm{O}$を原点とする座標空間内に$3$点$\mathrm{A}$$(4,2,5)\text{，}$$\mathrm{B}$$(-1,1,1)\text{，}$$\mathrm{C}$$(2-t,4-3t,6+2t)$をとる．

(1)　$\mathrm{▵OAB}$の面積を求めよ．

(2)　$4$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$が同一平面上にあるとき，$\mathrm{C}$の座標を求めよ．

(3)　点$\mathrm{C}$が$xy$平面上にあるとき，四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$を求めよ．

(4)　四面体$\mathrm{OABC}$の体積が(3)で求めた$V$の$3$倍となるような$t$の値をすべて求めよ．

【５】　$a$を$2$以上の整数，$p$を整数とし，$s=2^{2p+1}$とおく．実数$x\text{，}$$y$が等式

$2^{a+1}{\log }_2{3}^x+2x{\log }_2{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^x={\log }_s{9}^y$

を満たすとき，$y$を$x$の関数として表したものを$y=f(x)$とする．

(1)　対数の記号を使わずに，$f(x)$を$a\text{，}$$p$および$x$を用いて表せ．

(2)　$a=2\text{，}$$p=0$とする．このとき，$n\leqq f(m)$を満たし，かつ，$m+n$が正となるような整数の組$(m,n)$の個数を求めよ．

(3)　$y=f(x)$$\text{（}0\leqq x\leqq 2^{a+1}\text{）}$の最大値が$2^{3a}$以下となるような整数$p$の最大値と最小値を，それぞれ$a$を用いて表せ．

【６】　関数$F(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle {\int }_0^{x+1}}(|t-1|-1)\mathit{dt}$に対し，$y=F(x)$で定まる曲線を$C$とする．

(1)　$F(x)$を求めよ．

(2)　$C$と$x$軸の共有点のうち，$x$座標が最小の点を$\mathrm{P}\text{，}$最大の点を$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{P}$における$C$の接線を$l$とするとき，$C$と$l$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．また，$\mathrm{Q}$を通る直線$m$が$S$を$2$等分するとき，$l$と$m$の交点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．