2022　慶応義塾大学　商学部MathJax

【１】　以下の問いに答えなさい．

(ⅰ)　$1$から$1000$までの整数のうち，$2\text{，}$$3\text{，}$$5$の少なくとも$2$つで割り切れる数は$\text{(1)}\text{(2)}\text{(3)}$個あり，また，$2\text{，}$$3\text{，}$$5$の少なくとも$1$つで割り切れ，かつ$6$で割り切れない数は$\text{(4)}\text{(5)}\text{(6)}$個ある．

【１】　以下の問いに答えなさい．

(ⅱ)　$x$を変数とする$2$次方程式$x^2+(2\sqrt{2}\cos \theta )x+\sqrt{2}\sin \theta =0$が異なる$2$つの実数解をもつような実数$\theta$の範囲は

$\text{(ア)}$

である．

【１】　以下の問いに答えなさい．

(ⅲ)　放物線上の点$\mathrm{P}$における法線とは，点$\mathrm{P}$を通り点$\mathrm{P}$における接線に垂直な直線である．放物線$C_1\text{：}y=x^2$上の点$\mathrm{P}$$(a,a^2)$（ただし$a\ne 0$とする）における法線の方程式は

$y=\text{(イ)}$

である．

　また，実数$p\text{，}$$q$に対し，放物線$C_2\text{：}y=-{(x-p)}^2+q$上のある点における法線が，放物線$C_1$上の点$(1,1)$における法線と一致するとき，$p$と$q$について

$q=\text{(ウ)}$

という関係式が成り立つ．

【２】　点$\mathrm{O}$を原点とする$xyz$座標空間に，$2$点$\mathrm{A}$$(2,3,1)\text{，}$$\mathrm{B}$$(-2,1,3)$をとる．また，$x$座標が正の点$\mathrm{C}$を，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$が$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$に垂直で，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right|=8\sqrt{3}$となるように定める．

(ⅰ)　$\mathrm{▵OAB}$ の面積は$\text{(7)}\sqrt{\text{(8)}}$である．

(ⅱ)　点$\mathrm{C}$の座標は$(\text{(9)},\text{(10)}\text{(11)},\text{(12)})$である．

(ⅲ)　四面体$\mathrm{OABC}$の体積は$\text{(13)}\text{(14)}$である．

(ⅳ)　平面$\mathrm{ABC}$の方程式は

$x+\text{(15)}y+\text{(16)}z-\text{(17)}\text{(18)}=0$

である．

(ⅴ)　原点$\mathrm{O}$から平面$\mathrm{ABC}$に垂線$\mathrm{OH}$を下ろしたとき，点$\mathrm{H}$の座標は

$({\displaystyle \frac{\text{(19)}}{\text{(20)}\text{(21)}}},{\displaystyle \frac{\text{(22)}}{\text{(23)}}},{\displaystyle \frac{\text{(24)}\text{(25)}}{\text{(26)}\text{(27)}}})$

である．

【３】　$m$を実数とし，関数$y=|x^2-5x+4|$のグラフを$C\text{，}$直線$y=mx$を$l$とする．

(ⅰ)　グラフ$C$と直線$l$の共有点の個数は

$\text{(28)}\text{(29)}<m<\text{(30)}$のとき$0$個，

$m=\text{(31)}\text{(32)}$のとき$1$個，

$m<\text{(33)}\text{(34)}\text{，}$$m=\text{(35)}\text{，}$または$m>\text{(36)}$のとき$2$個，

$m=\text{(37)}$のとき$3$個，

$\text{(38)}<m<\text{(39)}$のとき$4$個

である．

　以下，グラフ$C$と直線$l$の共有点の個数が$3$個の場合を考え，グラフ$C$と直線$l$の共有点を，$x$座標が小さい順に$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$とする．

(ⅱ)　$3$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$の$x$座標は，順に

$\text{(40)}-\sqrt{\text{(41)}}\text{，}$$\text{(42)}\text{，}$$\text{(43)}+\sqrt{\text{(44)}}$

である．

(ⅲ)　グラフ$C$と線分$\mathrm{QR}$で囲まれた部分の面積は

${\displaystyle \frac{-\text{(45)}+\text{(46)}\text{(47)}\sqrt{\text{(48)}}}{\text{(49)}}}$

である．

【４】　ある金属$1$グラムの価格は正の実数値をとり，ある日の価格は前日に比べ，確率${\displaystyle \frac{1}{2}}$で$1.08$倍になり（上昇），確率${\displaystyle \frac{1}{2}}$で$0.96$倍になる（下落）．この金属の今日$\text{（}0$日目とする）の価格を$A$として，以下の問いに答えなさい．ただし必要ならば，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}$${\log }_{10}3=0.4771$を用いなさい．

(ⅰ)　$10$日目の価格が$A$よりも高くなるのは，$\text{(50)}$日以上で価格が上昇したときである．

　また，そのような確率は

${\displaystyle \frac{\text{(51)}\text{(52)}}{\text{53)}\text{(54)}}}$

である．

(ⅱ)　$5$日目の価格が$A$よりも低かったとき，$10$日目の価格が$\mathrm{A}$よりも高い確率は

${\displaystyle \frac{\text{(55)}\text{(56)}}{\text{(57)}\text{(58)}}}$

である．

(ⅲ)　$10$日目の価格が$\mathrm{A}$よりも高かったとき，$1$日目と$2$日目のうち少なくとも$1$回は価格が下落していた確率は

${\displaystyle \frac{\text{(59)}\text{60)}\text{(61)}}{\text{(62)}\text{(63)}\text{(64)}}}$

である．