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【2】 進法で表したとき桁である正の整数の第桁目をとしたとき,のときであり,かつ,次の(a)または(b)のいずれかが成り立つとき,を進法桁のデコボコ数と呼ぶことにする.
(a) であるに対して,が奇数のときとなり,が偶数のときとなる.
(b) であるに対して,が奇数のときとなり,が偶数のときとなる.
例えば,は(a)を満たす進法桁のデコボコ数であり,は(b)を満たす進法桁のデコボコ数である.なお,は(a)を満たすが,のときである」の条件を満たさないため,進数桁のデコボコ数ではない.
(1) が進法桁の数の場合,であれば,(a)または(b)を満たすため,進法桁のデコボコ数は個ある.
(2) が進法桁の数の場合,(a)を満たすデコボコ数は個,(b)を満たすデコボコ数は個あるため,進法桁のデコボコ数は合計個ある.
(3) が進法桁の数の場合,(a)を満たすデコボコ数は個,(b)を満たすデコボコ数は個あるため,進法桁のデコボコ数は合計個ある.また,進法桁のデコボコ数の中で最も大きなものは最も小さなものはである.
【4】 一辺の長さがの正方形の折り紙を次の手順にしたがって折る.
(1) ととを合わせてがに重なるように谷折りし,折り目をつけて開く.および上にあるこの谷折り線の端点をそれぞれおよびとする.
(2) が谷折り線になるように谷折りし,折り目をつけて開く.
(3) を谷折り線の端点のつとして,が上に重なるように谷折りし,折り目をつけて開く.上にあるこの谷折り線のもうつの端点をとする.
(4) ととを合わせてがに重なるように谷折りして,折り目をつける.および上にあるこの谷折り線の端点をそれぞれおよびとする.
(5) とがいずれもと重なるように枚重ねて谷折りし,および上に折り目をつけて開く.この折り目の点をそれぞれおよびとするはそれぞれと重なっているため図中には表示していない).
(6) を谷折り線とする谷折りを開くはそれぞれと重なっているため図中には表示していない).
(7) を谷折り線の端点のつとして,が上に重なるように谷折りし,折り目をつける.上にあるこの谷折り線のもうつの端点をとし,上にあるが重なる点をとする.
(8) を谷折り線とする谷折りを開くはと重なっているため図中には表示していない).
(9) を谷折り線の端点のつとして,とがそれぞれと上にくるように谷折りし,折り目をつけて開く.上にあるこの谷折り線のもうつの端点をとする.
(10) 折るのをやめる.
このとき
ここで,の面積をの面積をとすると
となる.
《編注》図は堀井洋子,折り紙サークル「折り紙で数学」 明治図書出版,2005 「多角形を折る」の章にあり.本サイトでは略す.
【6】 新型ウイルスの感染拡大にともなって,ある国の自治体がある飲食店にヶ月間の休業要請を行い,もし飲食店が要請に応じた場合,自治体は飲食店に補償金を払うことになったものとする.
いま,この飲食店は補償金が万円以上であれば要請に応じ,万円未満なら要請に応じないものとする.補償金の額を万円としたとき,万円を飲食店の超過利益と呼ぶことにする.もしであれば,飲食店は要請に応じず,超過利益も万円とする.
また,この自治体は支払うことのできる補償金の上限が定まっていて,それが万円であったとき,飲食店が万円で要請に応じた場合,万円は補償金の節約分となる.ただし,飲食店が要請に応じなかった場合には,補償金の節約分は万円とする.
(1) まず,自治体が飲食店に休業要請する場合の補償金の額万円を提示する場合について考える.いま,自治体の補償金の上限が万円であったとき,自治体の補償金の節約分が最も大きくなるのは万円の場合である.
(2) 次に,飲食店が自治体に休業申請し,自治体が申請を受理した場合に,飲食店は休業と引き替えに補償金を受け取ることができる場合について考える.なお,飲食店は休業申請をする際に万円以上の補償金の額を自治体に提示するものとする.また,ここでは自治体が支払うことができる補償金の上限については,万円か万円か万円のどれかに定まっているが公表されておらず,飲食店は万円である確率が万円である確率が万円である確率がであると予想しているものとする.
ただし,飲食店が提示した補償金の額が,実際に自治体が支払うことができる上限を超えていた場合,自治体は申請を受理せず,そのときの補償金の節約分は万円になり,申請が受理されなければ,飲食店は休業せず,超過利益は万円になる.たとえば,飲食店が休業申請をする際に万円を提示した場合,飲食店の超過利益(の期待値)は万円となる.
そこで,飲食店が超過利益(の期待値)を最も大きくする補償金の額を休業申請の際に自治体に提示したとすると
(a) 飲食店の超過利益(の期待値)は万円であり,
(b) 自治体の補償金の上限が実際は万円であった場合,補償金の節約分は万円,
(c) 自治体の補償金の上限が実際は万円であった場合,補償金の節約分は,万円となる.