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図1
図2
【1】 ある学校では,ドミソシのつの音をつ組み合せてチャイムを作り,授業の開始・終了などを知らせるために鳴らしている.チャイムは,図1のようにの格子状に並んだ個のボタンを押すことによって作ることができる.縦方向は音の種類を表し,横方向は時間を表している.例えば,ドミソシという音をつずつ,順番に鳴らすチャイムを作るには,図2のようにボタンを押せばよい(押したボタンを◎で表している).
ただし,鳴らすことのできる音の数は縦列あたりつだけであり,音を鳴らさない無音は許されず,それぞれの列で必ずつの音を選ばなければならないとする.
このとき
(1) つの音を回ずつ鳴らすことを考えた場合,チャイムの種類は通りになる.
(2) (1)に加えて,同じ音を連続して回繰り返すことを度だけしてもかまわない(例:ドミミソ)とした場合,チャイムの種類は合わせて,通りになる.ただし,連続する音以外は高々回までしか鳴らすことはできず,それらは連続する音とは異ならなければならないものとする.
(3) (1)と(2)に加えて,同じ音を連続して回繰り返すチャイムを許すと,可能なチャイムの種類は合わせての通りになる.
【5】 複数人でジャンケンを何回か行い勝ち残った人を決めることを考える.
最初は全員がジャンケンに参加して始める.それぞれのジャンケンでは,そのジャンケンの参加者がそれぞれグー,チョキ,パーのどれかを出し,もしだれか人が他の全員に勝った場合にはその人が勝者となりジャンケンはそこで終了する.そうでない場合,全員が同じ手を出したか,グー,チョキ,パーのそれぞれを誰かが出した場合には'あいこ'となり,そのジャンケンの参加者全員が次のジャンケンに進む.上記以外で,つの手に分かれた場合には,負けた手を出した人を除いて勝った手を出した人だけが次のジャンケンに進む.このように,ジャンケンを繰り返し行い,人の勝者が決まるまで続けるものとする.
ただし,ジャンケンの参加者全員,グー,チョキ,パーのどれかを等しい確率で毎回ランダムに出すものとする.また,通常のジャンケンのように,グーはチョキに勝ち,チョキはパーに勝ち,パーはグーに勝つものとする.
(1) 人でジャンケンを複数回行い人の勝者を決める場合,回目のジャンケンで勝者が決まる確率はであり,ちょうど回のジャンケンで勝者が決まる確率はであり,ちょうど回のジャンケンで勝者が決まる確率はである.
(2) 人でジャンケンを複数回行い人の勝者を決める場合,回目のジャンケンで勝者が決まる確率はであり,ちょうど回のジャンケンで勝者が決まる確率はである.
【6】 ある大学で来学期の授業の形式をどうするかを検討している.授業形式の選択としては,通常の対面形式(授業形式と呼ぶことにする),Web上で資料を閲覧できたり課題を行ったりできるオンデマンド形式(授業形式と呼ぶことにする),Web会議システムを使用するオンライン配信形式(授業形式と呼ぶことにする)のつがあるとする.
また,来学期の新型ウイルスの感染状況については,急激に拡大している状況(感染状況と呼ぶことにする),ピークは過ぎたが十分な収束にはいたっていない状況(感染状況と呼ぶことにする),ある程度収束した状況(感染状況と呼ぶことにする)のつが考えられるとする.
いま,この大学は授業形式と新型ウイルスの感染状況の組み合わせについて,次の表に示す評価値(値が高いほど評価も高い)を定めているものとする.
感染状況 | 感染状況 | 感染状況 | |
授業形式 | |||
授業形式 | |||
授業形式 |
来学期の感染状況について,感染状況である確率を感染状況である確率を感染状況である確率をとすると,空間において点はを頂点とする正三角形上の点として表すことができる.この正三角形上において,点から各辺に垂線を下ろしたとき,と向かいの辺に下ろした垂線の長さをと向かいの辺に下ろした垂線の長さをと向かいの辺に下ろした垂線の長さをとする.
(1) このとき
が成り立つ.
いま,正三角形上の点に対して,上記の評価の期待値を最大にする授業形式のラベルをつけることにする.ただし,によっては評価値を最大にする選択が複数ある場合もあり,その場合にはに複数のラベルをつけることにする.
さらに,原点とを頂点とする平面上の直角二等辺三角形の頂点,辺,内部からなるすべての点にという感染状況のラベルをつけ,原点とを頂点とする平面上の直角二等辺三角形の頂点,辺,内部からなるすべての点にという感染状況のラベルをつけ,原点とを頂点とする平面上の直角二等辺三角形の頂点,辺,内部からなるすべての点にという感染状況のラベルをつけることにする.
すると,正三角形とつの直角二等辺三角形からなる四面体の面上(頂点,辺も含む)のそれぞれの点には,つもしくは複数のラベルがつくことになる.例えば,原点にはのつのラベルがつく.
(2) このとき,正三角形の面上(頂点,辺も含む)の各点につけられるラベルの可能性を列挙すると,以下の通りとなる.ただし,複数のラベルがつけられる場合には,それぞれの中括弧内では,アルファベット順に書くものとする.に入るラベルについて下記の選択肢から選びなさい.
単一のラベルがつく場合:
つのラベルがつく場合:
つのラベルがつく場合:
つのラベルがつく場合:
選択肢:(1) (2) (3) (4) (5) (6)