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2022-14861-0101
2022 同志社大学 文化情報学部理系,理工学部,生命医科学部理系,心理学部理系,スポーツ健康科学部理系
全学部日程2月4日実施
易□ 並□ 難□
【1】 次の に適する数または式を,解答用紙の同じ記号のついた の中に記入せよ.
(1) 1 枚の硬貨と, 1 から 4 までの異なる番号をつけた4枚のカードに対して,「硬貨を投げ,裏が出れば 0 点を獲得する.表が出れば, 4 枚のカードから無作為に 1 枚を取り出して,取り出したカードの番号と同じ点数を獲得する.取り出したカードはもとに戻す」という試行を n 回繰り返す.この n 回の試行で獲得した点数の合計が 2 以上の偶数になる確率を p n とおく.このとき, p1= ア , p2= イ であり, pn+1 を p n で表すと p n+1 = ウ ⁢p n+ エ となる. pn を n の式で表すと, pn= オ である.
2022-14861-0102
(2) i を虚数単位とする.複素数平面上の 3 点 A ⁡(2 ⁢i) , B⁡ (-1+ i), C ⁡(1 +i) を考える.点 D と点 E は,点 A を原点を中心として,それぞれ 23⁢ π と - 23 ⁢π だけ回転した点とする.点 D を表す複素数の実部は カ , 点 E を表す複素数の虚部は キ である.点 F は,点 C を点 B を中心として - π3 だけ回転し,点 B からの距離を 1+3 2 倍した点とする.点 F を表す複素数の実部は ク , 虚部は ケ である.六角形 ABDFEC の面積は コ である.
2022-14861-0103
【2】 条件(*) t 2≠5 を満たす実数 t に対して, f⁡( t)= t 2-4⁢ t+5 t2−5 , g⁡( t)= -2⁢t 2+10⁢ t-10 t2−5 とする.次の問いに答えよ.
(1) 条件(*)を満たすすべての t に対して,点 ( f⁡(t ),g⁡ (t) ) が双曲線 H: α⁢x2 -β⁢y 2=1 上にあるとき,定数 α , β の値を求めよ.
(2) 条件(*)を満たすすべての t に対して, 2 つの等式
f⁡( -t)= a⁢f⁡ (t) +b⁢g⁡ (t ), -g⁡( -t)= c⁢f⁡( t)+d ⁢g⁡( t)
が同時に成り立つとき,定数 a , b, c, d の値を求めよ.
(3) (2)の定数 a , b , c , d を用いて, p′ , q′ を 2 つの式 p ′=a ⁢p+b⁢ q, q′= c⁢p+d ⁢q で定める. p=1 , q=2 のとき, p′ , q′ の値を求めよ.
(4) (1)の双曲線 H 上にある任意の点 ( p,q ) に対して,(3)の 2 つの式で定まる点 ( p′, q′ ) も H 上にあることを示せ.
(5) r1= 1, rn+ 1=9⁢ rn+4 ⁢5⁢ rn2- 1 ( n=1 , 2 , 3, ⋯) で定められる数列 { rn } の各項が正の整数であることを示せ.
2022-14861-0104
【3】 座標空間内の四面体 OABC は, | OA→ |= |OB →| =| OC→ |= 1, cos⁡∠AOB =cos⁡∠AOC =cos⁡∠BOC =1 3 を満たしている.この四面体に対して,辺 OA 上の点と辺 BC 上の点を結ぶ線分の長さを L とする. 2 点がそれぞれ辺 OA , 辺 BC 上の点全体を動いたとき, L を最小にする辺 OA 上の点を P , 辺 BC 上の点を Q とする.次の問いに答えよ.
(1) OP→ , OQ→ を OA → , OB→ , OC→ を用いて表せ.
(2) (OA →+x ⁢OB→ +y⁢OC →)⋅ PQ→ =0 かつ ( OA→+ x⁢OB→ +y⁢OC →) ⋅OB→ =0 を満たす実数 x , y を求めよ.
(3) 3 点 R , S , T がそれぞれ線分 PQ , 辺 OB , 辺 OC 上の点全体を動いたとき, | SR→ | 2+ |TR →| 2 の最小値を求めよ.また,そのときの SR → , TR→ を OA → , OB→ , OC→ を用いて表せ.
2022-14861-0105
【4】 定数 a は 0 <a<1 とする. θ を実数とし,関数
f⁡( θ)= 1- a2 2⁢π⁢ (1+ a2-2 ⁢a⁢cos ⁡θ)
とする.次の問いに答えよ.
(1) t=tan⁡ θ2 ( -π<θ <π ) とおいて, f⁡( θ) を t の式で表す.この t の式を f 1⁡( t) とすると, t の関数 f 1⁡( t) はある定数 b を用いて, f1⁡ (t) =b ⁢(1+ t2) 2⁢π ⁢(b 2+t2 ) と表せる. b を a の式で表せ.
(2) g⁡( θ) は連続で 2 ⁢π を周期とする周期関数とする. c を実数とするとき,等式 ∫02 ⁢π g⁡( θ)⁢ dθ= ∫cc +2⁢π g⁡( θ)⁢ dθ が成り立つことを示せ.
(3) -π<θ <π のとき,実数 u (- π2< u< π2 ) は(1)の b を用いて b⁢ tan⁡u= tan⁡ θ2 を満たすとする.このとき, f⁡( θ) を u で表した式を f 2⁡( u) とし,式 f 2⁡( u)⁢ dθdu の値を h とする. h を求めよ.
(4) r を実数とする.定積分 ∫02 ⁢π f⁡( θ-r) ⁢cos⁡θ ⁢dθ を a と r の式で表せ.ただし,必要ならば,(3)の h に対して,等式 ∫-π πf ⁡(θ )⁢dθ =π⁢h が成り立つことを証明なしで用いてよい.