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2022-14861-0201
2022 同志社大学 文系学部全学部日程2月5日実施
易□ 並□ 難□
【1】 次の に適する数または式を,解答用紙の同じ記号の付いた の中に記入せよ.
(1) 7 個の数字 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 を重複なく使って 4 桁の整数をつくる.千の位の数と百の位の数の和が 3 となる整数は ア 通りある.隣り合う位の数の和が 3 とならない整数は イ 通りある.また, 4 の倍数となる整数は ウ 通りある.
2022-14861-0202
(2) log2⁡ (x+1 ) と log 2⁡( x-3 ) の真数条件が同時に成り立つ x の範囲は エ である.また,不等式 log 2⁡( x+1) +log2 ⁡(x- 3)≧ 2 を満たす x の範囲は オ である.
2022-14861-0203
(3) O を原点とする座標平面上で, 2 点 A (-3, 2), B (5, 18) を通る直線 l の方程式は y= カ である. l と放物線 C: y=x2 との交点を P , Q とおく.ただし, P の x 座標は Q の x 座標より小さいとする.このとき, ▵OPQ の面積は キ であり, l と C で囲まれた部分の面積は ク である.
2022-14861-0204
(4) 関数 f⁡ (x ) は, f⁡( x)= |x |+ ∫0 2f⁡ (t) ⁢dt を満たすとする.このとき, A= ∫02 f⁡(t )⁢dt とおくと, A の値が A = ケ と求まり, f⁡( x) も求まる.また,この f ⁡(x ) を用いた定積分 I= ∫- 33 f⁡(x )⁢dx の値は, I= コ と求まる.
2022-14861-0205
【2】 数列 { an} の初項から第 n 項までの和を S n= ∑k= 1n ak とおくとき,数列 { Sn } と { an } は条件
a1= 2, an= n +1n- 1⁢ Sn-1 ( n=2 ,3 ,4 ,⋯ )
を満たす.このとき,次の問いに答えよ.
(1) an を a n-1 と n を用いて表すことで { an } の漸化式を求めよ.
(2) 数列 { bn } を b n= ann +1 ( n=1 , 2 , 3 ,⋯ ) で定める.このとき, {b n} の一般項を求めよ.
(3) {a n} の一般項を求めよ.また, {Sn } の一般項を求めよ.
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【3】 正の実数 p に対して f ⁡(x )=x 3-3⁢ p⁢x とおき,座標平面上の曲線 y =f⁡( x) を C とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1) C 上の点 ( t,f⁡ (t) ) における C の接線の方程式を求めよ.
(2) 点 ( -1,3 ) を通る C の接線が,ちょうど 2 本であるとする.この条件を満たすような p の値をすべて求めよ.
(3) 点 ( -1,3 ) を通る C の接線が,ちょうど 3 本であるとする.それらの 3 本の接線と C との接点をそれぞれ ( α,f⁡ (α) ), (γ, f⁡(γ )), (β, f⁡(β )) とおく.ただし, α<γ <β を満たすように α , γ , β を選ぶとする.さらに, γ= α+β 2 であるとする.これらの条件をすべて満たすような p の値を求めよ.また,そのときの α の値を求めよ.