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2022-14991-0201
2022 関西大学 全学日程理系2月2日実施
易□ 並□ 難□
【1】 楕円 x24 + y29 =1 と直線 y =2⁢x +k に対して,楕円と直線が共有点をもたないとき,次の問いに答えよ.ただし, k は正の定数とする.
(1) k のとりうる値の範囲を求めよ.
(2) 楕円上の点 P (2⁢ cos⁡θ, 3⁢sin⁡ θ) から直線に下ろした垂線を PH とする.そのとき, H の座標を k と θ を用いて表せ.
(3) 点 P が楕円上を動くとき,(2)で求めた PH の長さの最小値を k で表せ.
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【2】 次の を数値でうめよ.
数列 { an }, {b n} を
an= ∫ 13x ⁢en⁢ x2 ⁢dx , bn= ∫1 3e n⁢x 2⁢ dx ( n=1 ,2 ,3 ,⋯ )
で定める.このとき,
an= 1 ① ⁢n ⁢( e ② ⁢ n-e n)
となる.よって
log⁡n⁢ an= ③ ⁢n+ log(i- e ④ ⁢ n) -log⁡2
である. 1≦x≦ 3 に対して
en⁢ x2≦ x⁢en ⁢x2 ≦3⁢ en⁢ x2
なので, ⑤ ⁢a n≦b n≦a n となり,はさみうちの原理より
limn →∞ 1n ⁢log ⁡n⁢b n= ⑥
となる.
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【3】 三角形 OAB において,
OA=4 , OB=5 , OA→ ⋅OB→ = 52
とし,辺 AB を 1 :5 に内分する点を P とし, 4:5 に内分する点を Q とする.
(1) AB と OP の長さを求めよ.
(2) 三角形 OPQ の面積を求めよ.
(3) sin⁡∠POQ の値を求めよ.
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2022 関西大学 2月2日実施
【4】 次の をうめよ.
(1) p , q を 1 より大きい実数とする. x , y , z を x ⁢y⁢z ≠0 かつ p x=q y= (p⁢ q) z を満たす実数とするとき, 1 x+ 1y を z を用いて表すと ① になる.
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(2) α= π15 , β= π10 , γ= π5 のとき,
( cos⁡α+ i⁢sin⁡α )⁢ ( cos⁡β+i ⁢sin⁡β )3 cos⁡γ +i⁢sin⁡ γ
の値は ② である.ただし, i は虚数単位である.
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(3) サイコロを 3 回投げ 1 回目, 2 回目, 3 回目に出た目をそれぞれ a , b , c とする.そのとき, 2a⁢ 3b⁢ 6c の正の約数の個数が 24 となる確率は ③ である.
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(4) x>0 上の関数 f ⁡(x ) を
f⁡( x)= log ⁡xx
で定める. f⁡( x) の最大値は ④ である.
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(5) 関数 f ⁡(x )=x 2 に対して
S= ∫01 f⁡ (x) ⁢dx , Sn= 1n ⁢ ∑k= 1n f⁡( kn ) ( n=1 ,2 ,3 ,⋯ )
とおくと,
Sn= 13 + ⑤ ⁢ 1n+ 16 ⁢n2
であり, Sn- S が 1 以下となる最小の n は ⑥ である.