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2022-14991-0901
2022 関西大学 全学日程文系
2月6日実施
易□ 並□ 難□
【1】 次の を数値でうめよ.
(1) t についての不等式
t3- 2⁢t2 −5⁢t +6≧0
を解くと, ① ≦ t≦1 または ② ≦ t である.
(2) x についての不等式
( log2⁡ x) 3-2 ⁢( log2⁡ x) 2-5⁢ los2⁡ x+6≧ 0
を解くと, ③ ≦ x≦2 または ④ ≦x である.
{3} x についての不等式
( log2⁡ x) 2-2 ⁢log2 ⁡x- 6⁢log x⁡2 ≧5
を解くと,
⑤ < x≦ ⑥
または
⑦ < x≦2
④ ≦ x
である.
2022-14991-0902
【2】 放物線 y =x2 を C とおき, a>0 に対して, C 上の点 P (a, a2 ) における接線を l とおく.さらに, C 上の点 Q を, Q における C の接線 m が l と垂直に交わように選んでおく.このとき, l と m の交点を R とおく.次の をうめよ.
Q の x 座標は ① であり, m の方程式は y = ② である.また, R の x 座標は ③ 8⁢a , y 座標は ④ である.さらに, a の関数 ① -a は a = ⑤ のとき,最大値をとる.このとき, l と m および C で囲まれた図形の面積は ⑥ である.
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【3】 p を 3 以上の整数とし,次のように定められた数列 { an } を考える.
a1 =1 , a2= 2⁢p , an+ 2-2 ⁢p⁢a n+1 +p2 ⁢an =0 ( n=1 ,2 ,3 ,⋯ )
次の問いに答えよ.
(1) bn= an+1 -p⁢ an とおく. bn+ 1 を b n を用いて表せ.さらに, {b n} の一般項を求めよ.
{2} cn= a npn とおく. cn+ 1 を c n を用いて表せ.
{3} {a n} の一般項を求めよ.
(4) 任意の n =1 , 2 , 3 ,⋯ に対して, an を p -1 で割った余りと, n を p -1 で割った余りが等しくなることを,数学的帰納法を用いないで示せ.