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2022-14991-1501
2022 関西大学 推薦システム理工(数学科)学部
易□ 並□ 難□
【1】 次の をうめよ.
(1) 方程式 6 ⁢x+13 ⁢y=3 を満たす整数解 x , y の組で, 1<x< 100 を満たすものの総数は ① である.
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(2) 角度 θ は 0≦ θ≦ π2 とし,
(ⅰ) sin⁡ θ=x ⁢cos⁡θ , (ⅱ) cos⁡ (2⁢ θ)= x⁢sin ⁡(2 ⁢θ)
を満たすとする.そのとき, x= ② , θ= ③ である.
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(3) a1= 1, an+ 1= an3 ⁢an+ 2 で定められる数列 { an } の一般項は ④ である.
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(4) 箱の中に 1 から 5 までの数字が書かれたボール 5 個が入っている.箱から同時に 2 個のボールを取り出し,書かれた数の和,積をそれぞれ X , Y とかく.どのボールも取り出される確率は等しいとする.そのとき, X が 5 となる確率は ⑤ であり, Y が奇数となる確率は ⑥ である.
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(5) 点 P が放物線 y= x2+1 上を動き,点 Q が直線 y= x 上を動くとき,線分 PQ の長さの最小値は ⑦ である.
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(6) 自然数 n に対し,複素数 -1+ 3⁢i 2 の n 乗の実部を a n としたとき,漸化式 a n+2 = ⑧ ⁢ an+ 1+ ⑨ ⁢an が成り立つ.
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(7) 関数 f ⁡(x )=x 2⁢e -x ( x≧0 ) を考えるとき, f⁡( x) の導関数は ⑩ であり, x= ⑪ のとき,最大値 ⑫ をとる.
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(8) f⁡( x)=x 3-x+ 23 ⁢3 で定義するとき, f⁡(x )=( x- ⑬ )⁢ (x- ⑭ )2 と因数分解され,グラフ y= f⁡(x ) と x 軸とで囲まれる部分の面積は ⑮ となる.
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【2】 数列 { an }, {b n} を
an= (2 +1) n+ (2 −1) n , bn= [ (2 +1) n] , n=1 ,2 ,⋯ ,
で定義する.ただし,記号 [ x] は x 以下の最大の整数を表すものとする.
(1) a2 , b3 を求めよ.
(2) n が偶数のとき a n は偶数であることを示せ.
(3) n が偶数のとき b n は奇数であることを示せ.