2023　室蘭工業大学　前期MathJax

【１】　関数$f(x)$を$f(x)=2x{e}^x$と定める．曲線$y=f(x)$の点$(2,f(2))$における接線を$l$とする．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(1)　接線$l$の方程式を求めよ．

(2)　不定積分${\displaystyle \int }f(x)\mathit{dx}$を求めよ．

(3)　曲線$y=f(x)$と$x$軸および接線$l$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

【２】　$n$を自然数とする．正の実数$x$に対し，関数$f_n(x)\text{，}$$g_n(x)$を

$f_n(x)={\displaystyle {\int }_1^x}{(\log t)}^n\mathit{dt}\text{，}$$g_n(x)={\displaystyle {\int }_1^x}{\displaystyle \frac{{(\log t)}^n}{t}}\mathit{dt}$

と定める．ただし，対数は自然対数とする．

(1)　不定積分${\displaystyle \int }\log x\mathit{dx}$と${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{\log x}{x}}\mathit{dx}}$を求めよ．

(2)　$f_{n+1}(x)$を$f_n(x)$を用いて表せ．

(3)　$g_{n+1}(x)$を$g_n(x)$を用いて表せ．

【３】　$n$を自然数とする．

(1)　すべての自然数$n$に対して

${\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^n\geqq 1+{\displaystyle \frac{n}{2}}$

となることを，数学的帰納法によって示せ．

(2)　極限$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt{n}{\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^n$を求めよ．

【４】　$i$を虚数単位とする．方程式$z^3=8i$の解で，実部が正の複素数を$\alpha \text{，}$実部が負の複素数を$\beta \text{，}$実部が$0$の複素数を$\gamma$とする．

(1)　$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\gamma$を求めよ．

(2)　${\displaystyle \frac{\gamma -\alpha }{\beta -\alpha }}$と$\left|{\displaystyle \frac{\gamma -\alpha }{\beta -\alpha }}\right|$の値を求めよ．

(3)　複素数平面上の$3$点$\mathrm{A}(\alpha )\text{，}$$\mathrm{B}(\beta )\text{，}$$\mathrm{C}(\gamma )$を頂点とする$\mathrm{▵ABC}$が，正三角形であることを示せ．

【５】　$\mathrm{▵OAB}$が$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=2\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=\sqrt{2}$および$\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|=2$を満たすとする．$t$を$0<t<1$を満たす実数とし，辺$\mathrm{AB}$を$1-t:t$に内分する点を$\mathrm{C}\text{，}$辺$\mathrm{OB}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{D}$とする．

(1)　内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を求めよ．

(2)　${\left|\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{\mathrm{OD}}\right|}^2$を最小にする$t$の値$t_0$と，${\left|\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{\mathrm{OD}}\right|}^2$の最小値を求めよ．

(3)　(2)の$t_0$に対して，$t=t_0$とする．直線$\mathrm{OC}$と直線$\mathrm{AD}$の交点を$\mathrm{M}$とするとき，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OM}}\right|$の値を求めよ．