2023　帯広畜産大学　前期総合問題

【５】

問１

1)　$\sin 2\theta =-{\displaystyle \frac{3}{4}}$であるとき，${({\displaystyle \frac{1}{\sin \theta }}+{\displaystyle \frac{1}{\cos \theta }})}^2$の値を求めなさい．ただし，$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．

【５】

問１

2)　$2$つのベクトル$\overrightarrow{u}=(t,0)$と$\overrightarrow{v}=(0,2)$の和で定義されるベクトル$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$とベクトル$\overrightarrow{b}=(-{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}})$が垂直になるとき，実数$t$の値を求めなさい．

【５】

問１

3)　${\displaystyle \frac{3}{2}}<2^k<{\log }_{2}32$を満たすすべての整数$k$の値を求めなさい．

【５】

問２　正方形$\mathrm{ABCD}$の$2$つの対角線の交点を$\mathrm{O}$とする．正方形$\mathrm{ABCD}$の$4$つの辺と$2$つの対角線上を，次の決まり(ア)，(イ)，(ウ)に従って移動する点を$\mathrm{Q}$とする．

(ア)　点$\mathrm{Q}$が交点$\mathrm{O}$上にあるとき，移動開始の合図があると，点$\mathrm{Q}$は頂点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$のいずれかに移動して止まる．各頂点に移動する確率はそれぞれ${\displaystyle \frac{1}{4}}$である．

(イ)　点$\mathrm{Q}$が頂点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$のいずれかの上にあるとき，移動開始の合図があると，点$\mathrm{Q}$は隣接する$2$つの頂点^※あるいは交点$\mathrm{O}$に移動して止まる．各頂点および交点$\mathrm{O}$に移動する確率はそれぞれ${\displaystyle \frac{1}{3}}$である．

^※例えば，頂点$\mathrm{A}$の隣接する$2$つの頂点は$\mathrm{B}$と$\mathrm{D}$である．

(ウ)　点$\mathrm{Q}$は頂点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$または交点$\mathrm{O}$上にしか止まらない．また，点$\mathrm{Q}$が止まっているときにのみ合図が$1$回あり，合図が終わってから点$\mathrm{Q}$は移動を開始する．

　$n$回目の合図のあとに点$\mathrm{Q}$が止まり，$n+1$回目の合図の前に，点$\mathrm{Q}$が交点$\mathrm{O}$上にある確率を$P_n$とする．ただし，$n$は正の整数であり，各移動はそれぞれ独立であるとする．

1)　はじめに点$\mathrm{Q}$が交点$\mathrm{O}$上にあるとする．

(1)　$P_1\text{，}$$P_2$の値をそれぞれ求めなさい．

(2)　$P_{n+1}$を$P_n$の式で表しなさい．ただし，$n$回目の合図のあと，$n+1$回目の合図の前に点$\mathrm{Q}$が頂点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$のいずれかの上にある確率は等しいことを用いてよい．

(3)　$P_n$を$n$の式で表しなさい．

2)　はじめに点$\mathrm{Q}$が頂点$\mathrm{A}$上にあるとする．

(1)　$P_1\text{，}$$P_2$の値をそれぞれ求めなさい．

(2)　$n=2m$とする．合計$n$回の合図によるすべての移動において，点$\mathrm{Q}$が正方形$\mathrm{ABCD}$のいずれかの辺を少なくとも$1$回通り，かつ，交点$\mathrm{O}$に少なくとも$1$回止まる確率を$m$の式で表しなさい．ただし，$m$は正の整数である．

【５】

問３　$t$を実数とし，座標平面上の直線

$L\text{：}y=tx$

と原点を通る曲線

$C\text{：}y=-{(x-2)}^2+4$

を考える．直線$L$が曲線$C$に接するときの直線$L$の傾きを$t_0$とし，$t$の範囲を$0\leqq t\leqq t_0$とする．また，直線$L\text{，}$直線$x=-a\text{，}$$x$軸で囲まれた図形の面積を$S_1$とする．ただし，$0<a<4$とし，$t=0$のときは$S_1=0$とする．さらに，直線$L$と曲線$C$で囲まれた図形の面積を$S_2$とする．ただし，$t=t_0$のときは$S_2=0$とする．$S_1+S_2$を$t$の関数として$S(t)$とする．

1)　$S_1$を$a\text{，}$$t$の式で表しなさい．

2)(1)　関数$f(x)=-{(x-2)}^2+4$の導関数$f^{\prime }(x)$を求めなさい．

(2)　$t_0$の値を求めなさい．

3)　$S_2$を$t$の多項式またはそれを因数分解した式で表しなさい．

4)　関数$S(t)$の導関数$S^{\prime }(t)$が$0$となる$t$を$a$の式で表しなさい．

5)　$S(t)$の最大値，最小値をそれぞれ実数または$a$の式で表しなさい．ただし，求めた値が最大値，最小値となる理由もそれぞれ示しなさい．