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2023-10010-0101
2023 旭川医科大学 前期
医学部(医学科)
易□ 並□ 難□
【1】 k を正の実数とし,原点を O とする座標平面上で媒介変数 t を用いて
x=f⁡ (t) =ek ⁢t⁢ cos⁡t , y=g⁡ (t) =ek⁢ t⁢sin ⁡t
と表される曲線 C を考える.曲線 C 上の点 P の座標を ( a,b ) とし, k⁢a≠ b を満たすものとする.このとき,次の各問いに答えよ.
問1 点 P (a, b) における接線 l の傾きを a , b , k を用いて表せ.
問2 問1で求めた接線 l 上に点 P と異なる任意の点 Q (x, y) をとる.ベクトル OP → とベクトル PQ → とのなす角を θ とするとき, |cos⁡ θ| を k を用いて表せ.
問3 tan⁡α =k ( 0<α< π2 ) とする.関数 f ⁡(t ) は α ≦t≦ π2 の範囲で減少関数であることを示せ.
問4 α を間3で定めた数とし, x1 =f⁡( β) ( α<β< π2 ) とする.このとき, x 軸, y 軸,直線 x =x1 , および曲線 C の β ≦t≦ π 2 の部分によって囲まれる図形の面積を求めよ.
2023-10010-0102
【2】 a , b を実数とする. x に関する 3 次方程式
(*) x3- 3⁢a⁢ x+b= 0
は虚数解をもち, 3 個の解は複素数平面上で一直線上にないものとする.このとき,次の各問いに答えよ.
問1(1) a , b の満たす条件を示し,それを a ⁣b 平面上に図示せよ.
(2) 方程式(*)の実数解を c とするとき,虚数解を a , c および虚数単位 i を用いて表せ.
問2 複素数平面上で方程式(*)の 3 個の解を頂点とする三角形を K とする.
(1) K が点 1 を中心とする半径 2 の円 |z- 1|= 2 に内接しているとき, a と b の値を求めよ.
(2) K が点 1 を中心とする半径 r の円に内接しているとき, K の 3 つの頂点を表す複素数と半径 r を a を用いてそれぞれ表し, a のとりうる値の範囲を求めよ.
2023-10010-0103
【3】 四面体 ABCD において, AB=4 , BC=6 , ∠ABC=∠BCD =60⁢ ° とする.辺 AC を AL :LC=1 :6 に内分する点 L をとり,点 A から辺 BC に垂線を下ろし,辺 BC との交点を M とする. AM と BL との交点を P とするとき,次の各問いに答えよ.
問1 辺 AC の長さ,および内積 AB →⋅ AC→ の値を求めよ.
問2 AP→ を AB → と AC → を用いて表せ.
問3 三角形 ABC を含む平面を α とする.点 D から平面 α に下ろした垂線と平面 α との交点は P に一致する.
(1) PD の長さを求めよ.
(2) PD 上に PQ →=k ⁢PD→ となる点 Q をとる. AQ→ ⋅CD→ =0 のとき, k の値と四面体 QABC の体積を求めよ.ただし, 0<k< 1 とする.
2023-10010-0104
【4】 投げたときに表が出る確率と裏が出る確率が等しい硬貨がある.この硬貨を繰り返し投げ, 3 回連続して同じ面が出るまで続けるゲームをする. n を自然数とし, n 回目, n+1 回目, n+2 回目に 3 回連続して表が出てゲームが終了するときの場合の数を a n とおく.このとき,次の各問いに答えよ.
問1 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 をそれぞれ求めよ.求める過程も示せ.
問2 F1 =1 , F2= 1, Fn+ 2=F n+F n+1 ( n=1 , 2 , 3 , ⋯ ) で定められた数列 { Fn } の一般項は, Fn= 1 5⁢ {( 1+ 52 ) n- ( 1-5 2 )n } で与えられる.このとき,級数 ∑n= 1∞ F n2n の和を求めよ.
問3 n 回目, n+1 回目, n+2 回目に 3 回連続して表が出てゲームが終了する確率を P n とおく.問2の結果を用いて,級数 ∑n =1∞ Pn の和を求めよ.