2023　北見工業大学　後期

【１】　以下の空欄(ⅰ)〜(ⅹ)をうめよ．なお，(10)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(1)　$y=\log (x+\cos x)$の導関数は，$y^{\prime }=\text{(ⅰ)}$である．

【１】　以下の空欄(ⅰ)〜(ⅹ)をうめよ．なお，(10)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(2)　データ$x_1\text{，}$$x_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$x_n$の平均値が$40\text{，}$標準偏差が$20$であるとする．正の実数$a$と実数$b$に対して，データ$a{x}_1+b\text{，}$$a{x}_2+b\text{，}$$\cdots \text{，}$$a{x}_n+b$の平均値が$80\text{，}$標準偏差が$10$となるとき，$(a,b)=\text{(ⅱ)}$である．

【１】　以下の空欄(ⅰ)〜(ⅹ)をうめよ．なお，(10)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(3)　表に$\mathrm{A}\text{，}$裏に$\mathrm{B}$と書かれたカードが$3$枚，表と裏の両面に$\mathrm{A}$と書かれたカードが$2$枚ある．この$5$枚のカードを袋に入れ，無作為に$2$枚取り出して机に置くとき，置かれるカードの文字がともに$\mathrm{A}$となる確率は$\text{(ⅲ)}$である．ただし，置かれるカードの表が出る確率と，裏が出る確率は等しいとする．

【１】　以下の空欄(ⅰ)〜(ⅹ)をうめよ．なお，(10)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(4)　${\displaystyle {\int }_{-1}^1}x\sqrt{x+1}\mathit{dx}=\text{(ⅳ)}$である．

【１】　以下の空欄(ⅰ)〜(ⅹ)をうめよ．なお，(10)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(5)　$1000$ 以上$2023$ 以下の自然数の中で，$3$と$4$ の少なくとも一方で割り切れるものの個数は$\text{(ⅴ)}$である．

【１】　以下の空欄(ⅰ)〜(ⅹ)をうめよ．なお，(10)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(6)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n^3}}{\displaystyle \sum _{k=1}^{2n}}{k}^2=\text{(ⅵ)}$である．

【１】　以下の空欄(ⅰ)〜(ⅹ)をうめよ．なお，(10)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(7)　$\sin {\displaystyle \frac{\pi }{6}}\text{，}$$\cos {\displaystyle \frac{\pi }{6}}\text{，}$$\tan {\displaystyle \frac{\pi }{6}}\text{，}$$\log {\displaystyle \frac{\pi }{6}}$を小さい順に並べると$\text{(ⅶ)}$となる．

【１】　以下の空欄(ⅰ)〜(ⅹ)をうめよ．なお，(10)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(8)　$2{\log }_2(x-2)\leqq 1+{\log }_2(x-1)$を満たす$x$のとり得る値の範囲は$\text{(ⅷ)}$である．

【１】　以下の空欄(ⅰ)〜(ⅹ)をうめよ．なお，(10)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(9)　$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{15}}$のとき，${\displaystyle \frac{{(\cos 2\theta +i\sin 2\theta )}^4}{\cos 3\theta +i\sin 3\theta }}=\text{(ⅸ)}$となる．

【１】　以下の空欄(ⅰ)〜(ⅹ)をうめよ．なお，(10)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(10)　$\text{「}{x}^2+2x-8\leqq 0\text{」}$は$\text{「}{x}^2-7x+12\geqq 0\text{」}$であるための$\text{(ⅹ)}\text{．}$

(a)　必要十分条件である

(b)　十分条件であるが必要条件でない

(c)　必要条件であるが十分条件でない

(d)　必要条件でなく十分条件でもない

【２】　$4$次関数$f(x)=-x^4+2x^2-1$について，以下の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$の増減を調べよ．また，$f(x)$の極大値と，そのときの$x$の値をすべて求めよ．さらに，$f(x)$の極小値と，そのときの$x$の値をすべて求めよ．

(2)　曲線$y=f(x)$の変曲点の座標をすべて求めよ．また，それぞれの変曲点における$y=f(x)$の接線の方程式を求めよ．

(3)　$y=f(x)$のグラフが下に凸になる$x$の範囲を求めよ．

(4)　$xy$平面内に曲線$y=f(x)$の概形をかけ．さらに，(2)で求めた変曲点における接線を，曲線$y=f(x)$と同じ$xy$平面内にかけ．

【３】　$xy$平面において，円$x^2+y^2=1$を$E$とする．また，$k$を正の実数とし，放物線$y=k{x}^2$を$H$とする．さらに，円$E$上の点$\mathrm{P}$$(s,t)$における$E$の接線を$l_1$とし，放物線$H$上の点$\mathrm{Q}$$(u,k{u}^2)$における$H$の接線を$l_2$とする．ただし，$s>0\text{，}$$t<0\text{，}$$u>0$とする．放物線$H\text{，}$接線$l_2$および$y$軸で囲まれる図形の面積を$A$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　接線$l_1\text{，}$$l_2$の方程式をそれぞれ求めよ．

(2)　$t$を$s$を用いて表せ．

(3)　$l_1$と$l_2$が一致するとき，$u$と$k$を$s$を用いてそれぞれ表せ．

(4)　$l_1$と$l_2$が一致するとき，面積$A$を$s$を用いて表せ．

(5)　$l_1$と$l_2$が一致するとき，面積$A$の最小値と，そのときの$s$の値を求めよ．

【４】　以下のカーリングを題材にした課題と，それに対する北見さんの考察を読み，文章中の問１〜問４に答えよ．

【北見さんの考察１】

　ストーン$S_2$を投げる$y$軸上の位置を$(0,b)$とし，$S_2$の中心が直線$l\text{：}y=ax+b$上の$x\geqq 0$の範囲を動くとする．ただし，$a\text{，}$$b\geqq 0$とする．ここにおいて，$a>1$または$b>2$ならば，$S_2$が$S_1$に当たらないことは明らかである．したがって，$a$と$b$のとり得る値の範囲を，それぞれ$0\leqq a\leqq 1\text{，}$$0\leqq b\leqq 2$として考える．

　半径$1\text{，}$中心$(4,0)$の円の周および内部を$C_1$とする．半径$1$の円の中心が$l$上の$x\geqq 0$の範囲を動くとき，その円の周および内部が通過する部分を$C_2$とする．$C_1$と$C_2$の共通部分がある，すなわち，$C_1\cap C_2$が空集合でないとき，$S_2$が$S_1$に当たると判定する．

【北見さんの考察２】

　次に，$S_2$が$S_1$に当たるとき，$a$と$b$が満たす条件を考える．$a=0$ならば，$S_2$が$S_1$に当たるときの条件は，$0\leqq b\leqq 2$のすべてであることがすぐにわかる．

　$a>0$とする．また，直線$l$と垂直に交わり，点$(4,0)$を通る直線を$n$とし，$l$と$n$の交点を$\mathrm{P}$とする．点$(4,0)$と直線$l$の距離は，点$(4,0)$と点$\mathrm{P}$の距離に等しい．

【北見さんの考察３】

　問３で示した，$S_2$が$S_1$に当たる点$(a,b)$の領域の面積を$M$とする．直線$l$と$x$軸のなす角を$\theta$とすると，$a=\tan \theta$であることを利用して，$M$の値を求めることができる．

$0\leqq a\leqq 1\text{，}$$0\leqq b\leqq 2$が表す部分の面積は$2$である．したがって，この中で，$S_2$が$S_1$に当たるような点の領域と，当たらないような点の領域の面積の比は$M:(2-M)$であると考えられる．