2023　秋田大学　後期

【１】　原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に，$2$点$\mathrm{A}$$(e^2-1,0)\text{，}$$\mathrm{P}$$(t,0)$をとる．ただし，$0<t<e^2-1$とする．さらに，曲線$y=\log (x+1)$を$C$とし，曲線$C$上に$2$点$\mathrm{B}$$(e^2-1,2)\text{，}$$\mathrm{Q}$$(t,\log (t+1))$をとる．$\mathrm{▵APB}$の面積を$f(t)$とし，曲線$C\text{，}$線分$\mathrm{PQ}\text{，}$線分$\mathrm{OP}$によって囲まれた図形の面積を$g(t)$とする．このとき，次の問いに答えなさい．ただし，$\log$は自然対数，$e$は自然対数の底を表す．

(ⅰ)　$f(t)$を$t$を用いて表しなさい．

(ⅱ)　$g(t)$を$t$を用いて表しなさい．

(ⅲ)　$h(t)=f(t)+g(t)$とおく．$0<t<e^2-1$における$h(t)$の最小値とそのときの$t$の値を求めなさい．

【２】　原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上の$\mathrm{▵OAB}$が$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=4\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=5\text{，}$$\mathrm{\angle AOB}=60\mathrm{°}$を満たしているとする．辺$\mathrm{OB}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{D}\text{，}$辺$\mathrm{AB}$を$s:1-s$$\text{（}s$は実数）に内分する点を$\mathrm{E}\text{，}$線分$\mathrm{OE}$と線分$\mathrm{AD}$の交点を$\mathrm{F}$とする．このとき，次の問いに答えなさい．

(ⅰ)　$s={\displaystyle \frac{3}{5}}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{DE}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表しなさい．

(ⅱ)　$s={\displaystyle \frac{2}{3}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OF}}=t\overrightarrow{\mathrm{OE}}$とするとき，$t$の値$\text{（}t$は実数）を求めなさい．

(ⅲ)　$\mathrm{▵DEF}$の面積が${\displaystyle \frac{4\sqrt{3}}{9}}$となるとき，$s$の値を求めなさい．