2023　福島大学　前期

【１】　以下の問いに答えなさい．

(1)　$5$進法で表された数${1234}_{(5)}$を$10$進法で表しなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．

(2)　$\sqrt[3]{6.4\times {10}^{16}}$の値を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．

(3)　$2$桁の自然数$n$がある．$n$の一の位の数は十の位の数より$2$大きい．また，$n$の十の位の数の$2$乗は$n$より$26$小さい．このとき，自然数$n$を求めなさい．

【２】　以下の問いに答えなさい．

(1)　$z=1+\sqrt{3}i$とする．このとき，

$1+z+z^2+z^3+z^4+z^5$

の値を求めなさい．

【２】　以下の問いに答えなさい．

(2)　関数

$y=x{\log }_{e}x$

を$x$について微分しなさい．

【２】　以下の問いに答えなさい．

(3)　不定積分

${\displaystyle \int }{\log }_{e}x\mathit{dx}$

を求めなさい．

【２】　以下の問いに答えなさい．

(4)　媒介変数$t$を用いて，

$x={\displaystyle \frac{4}{\sqrt{t^2+16}}}\text{，}$$y={\displaystyle \frac{t}{\sqrt{t^2+16}}}$

で表される曲線について，点$({\displaystyle \frac{4}{5}},{\displaystyle \frac{3}{5}})$における接線の方程式を求めなさい．

【３】　次の連立不等式

$x+2y\leqq 6\text{，}$$3x+y\leqq 12\text{，}$$2x+y\geqq 4\text{，}$$y\geqq 0$

の表す領域を$D$とする．点$(x,y)$がこの領域$D$を動くとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　領域$D$を図示しなさい．

(2)　領域$D$の面積を求めなさい．

(3)　$x+y$の最大値を求めなさい．

(4)　$x+y$の最小値を求めなさい．

【４】　$a\text{，}$$p$を実数とする．曲線$C\text{：}y=2{\log }_{e}x$が直線$l\text{：}y=ax$と点$\mathrm{P}$$(p,ap)$で接している．このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　実数$p\text{，}$$a$の値を求めなさい．

(2)　曲線$C$と直線$x=p\text{，}$$y=0$で囲まれた図形の面積$S$を求めなさい．

(3)　関数$y=x{({\log }_{e}x)}^2$を$x$について微分しなさい．

(4)　曲線$C$と直線$l\text{，}$$y=0$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．

(1)　以下の値を求めなさい．

${\displaystyle \frac{1}{1+{\displaystyle \frac{1}{1+{\displaystyle \frac{1}{1+1}}}}}}$

【１】　以下の問いに答えなさい．

(2)　$75\mathrm{°}$を弧度で表しなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．

(3)　方程式

$\sqrt{25\sqrt{25\sqrt{25}}}={25}^x$

をみたす$x$の値を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．

(4)　多項式

${(x^2-y^2)}^2+{(2xy)}^2$

を因数分解しなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．

(5)　実数$a\text{，}$$b\text{，}$$c$が

$a-b+c=3\text{，}$$a^2+b^2+c^2=15$

をみたすとき，$ab+bc-ca$の値を求めなさい．

【２】　以下の問いに答えなさい．

(1)　以下で定める数列

$a_1=36\text{，}$$a_2=3636\text{，}$$a_3=363636\text{．}$$a_4=36363636\text{，}\cdots$

について，以下の問いに答えなさい．

(a)　$a_n$を$n$を用いて表しなさい．

(b)　初項から第$n$項までの和$S_n$を$n$を用いて表しなさい．

【２】　以下の問いに答えなさい．

(2)　$x\leqq -2$とする．このとき，以下の問いに答えなさい．

(a)　$-1\leqq t\leqq 1$のとき，関数$f(x)=|x-t|$を絶対値のない式で表しなさい．

(b)　$t$に関する積分

${\displaystyle {\int }_{-1}^1}|x-t|\mathit{dt}$

を$x$の式で表しなさい．

【３】　定数$s$を用いて空間内に$4$点

$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}$$\mathrm{A}(40,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}(0,s,0)\text{，}$$\mathrm{H}(40,30,120)$

が与えられている．$\mathrm{\angle AHB}=90\mathrm{°}$のとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　線分$\mathrm{OH}$の長さを求めなさい．

(2)　定数$s$の値を求めなさい．

(3)　点$\mathrm{P}$$(x,y,0)$とする．このとき，$\mathrm{\angle BHP}=90\mathrm{°}$をみたす点$\mathrm{P}$の軌跡が表す方程式を求めなさい．

【４】　連立不等式

$x+3y\leqq 15\text{，}$$2x+y\leqq 10\text{，}$$x\geqq 0\text{，}$$y\geqq 0$

が表す領域を$D$とする．点$\mathrm{P}$$(x,y)$がこの領域$D$を動くとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　領域$D$を図示しなさい．

(2)　$3x+2y$の最大値を求めなさい．

(3)　$m\text{，}$$n$を自然数とする．点$\mathrm{Q}$$(m,n)$が領域$D$上を動くとき，$3m+2n$が最小となる点$(m,n)$とその最小値を求めなさい．

(4)　実数$a$に対し，$ax+y$の最大値を求めなさい．

【１】　次の問いに答えなさい．

(1)　$xy-5x+y+4=0$をみたす正の整数の組$(x,y)$を全て求めなさい．

【１】　次の問いに答えなさい．

(2)　$a>1\text{，}$$b>1$のとき，次の不等式を証明しなさい．また，等号が成立するための必要十分条件を求めなさい．

${\log }_{a}b+{\log }_{b}a\geqq 2$

【１】　次の問いに答えなさい．

(3)　$0\leqq \theta <2\pi$のとき，次の方程式を解きなさい．

$\cos \theta +\cos 2\theta +\cos 3\theta =0$

【１】　次の問いに答えなさい．

(4)　定積分${\displaystyle {\int }_0^1}x{e}^x\mathit{dx}$を計算しなさい．

【２】　次の問いに答えなさい．

(1)(ⅰ)　次の等式が$x$についての恒等式となるように定数$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の値を定めなさい．

${\displaystyle \frac{4x^2-9x+6}{(x-1){(x-2)}^2}}={\displaystyle \frac{a}{x-1}}+{\displaystyle \frac{b}{x-2}}+{\displaystyle \frac{c}{{(x-2)}^2}}$

(ⅱ)　定積分${\displaystyle {\int }_3^4}{\displaystyle \frac{4x^2-9x+6}{(x-1){(x-2)}^2}}\mathit{dx}$を計算しなさい．

【２】　次の問いに答えなさい．

(2)　$z={\displaystyle \frac{-3+\sqrt{7}i}{2}}$とするとき，次の値を求めなさい．ただし$i$は虚数単位とする．

$z^4+3z^3+2z^2-z-2$

【２】　次の問いに答えなさい．

(3)　方程式${\displaystyle \frac{x^4}{4}}-x^3-x^2+6x=c$が異なる$4$つの実数解を持つように定数$c$の値の範囲を定めなさい．

【３】　次の問いに答えなさい．

(1)　 数列$\{a_n\}$は次の[1]，[2]の条件をみたす．

[1]　$a_1=3\text{，}$

[2]　$a_n=2a_{n-1}+2^n\cdot n-1$$\text{（}n=2\text{，}3\text{，}4\text{．}\cdots \text{）}$

(ⅰ)　$\alpha$を定数とし$b_n=a_n+\alpha$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$とおくと，数列$\{b_n\}$は関係式

$b_n=2b_{n-1}+2^n\cdot n$$\text{（}n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots \text{）}$

をみたす．このとき$\alpha$を求めなさい．

(ⅱ)　$c_n={\displaystyle \frac{b_n}{2^n}}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$とおくとき，数列$\{c_n\}$の一般項を求めなさい．

(ⅲ)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めなさい．

【３】　次の問いに答えなさい．

(2)　サイコロを$2$回振るとき，次の条件が成り立つ確率を求めなさい．

$\text{条件}$

　$1$回目に出た目を$a\text{，}$$2$回目に出た目を$b$とするとき，$0$以上の任意の整数$n$に対し

$n^2-an+b\geqq 0$

が成立する．

【４】　次の問いに答えなさい．

(1)　三角形$\mathrm{ABC}$が$\mathrm{AB}=4\text{，}$$\mathrm{BC}=5\text{，}$$\mathrm{CA}=7$を満たすとき，次の問いに答えなさい．

(ⅰ)　三角形$\mathrm{ABC}$の面積を求めなさい．

(ⅱ)　三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の半径を求めなさい．

【４】　次の問いに答えなさい．

(2)　正$12$角形の頂点が反時計回りに${\mathrm{A}}_1\text{，}$${\mathrm{A}}_2\text{，}\cdots$${\mathrm{A}}_{12}$の順で位置している．この正$12$角形の外接円の半径は$1$であり，外接円の中心を$\mathrm{O}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_1}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_2}=\overrightarrow{b}$とするとき，次の問いに答えなさい．

(ⅰ)　$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_4}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表しなさい．

(ⅱ)　$\overrightarrow{{\mathrm{A}}_4{\mathrm{A}}_9}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表しなさい．

【５】　座標平面上の円$C_1\text{：}{x}^2+y^2=1$および放物線$C_2\text{：}y=c{x}^2+1$を考える．ただし$c$は正の定数とする．さらに円$C_1$上に$2$点$\mathrm{A}$$(0,1)\text{，}$$\mathrm{B}$$({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}},-{\displaystyle \frac{1}{2}})$をとるとき，次の問いに答えなさい．

(1)　点$\mathrm{B}$における円$C_1$の接線が放物線$C_2$に接する．定数$c$の値を求めなさい．

(2)　(1)の接線の$C_2$上の接点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{P}$の座標を求めなさい．

(3)　次の$3$つの線で囲まれた部分の面積を求めなさい．

・円$C_1$上の点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$を結ぶ弧のうち，短い方

・放物線$C_2$の点$\mathrm{A}$から点$\mathrm{P}$の部分

・線分$\mathrm{BP}$