2023　福島大学　後期

【１】　以下の問いに答えなさい．

(1)　関数

$f(x)={\log }_x(\cos {\displaystyle \frac{x}{2}})$

の$x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$における微分係数を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．

(2)　定積分

${\displaystyle {\int }_{-\sqrt{3}}^1}\sqrt{4-x^2}\mathit{dx}$

を計算しなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．

(3)　以下の和

${\displaystyle \frac{1}{1\cdot 3}}+{\displaystyle \frac{1}{2\cdot 4}}+{\displaystyle \frac{1}{3\cdot 5}}$$+{\displaystyle \frac{1}{4\cdot 6}}+{\displaystyle \frac{1}{5\cdot 7}}+{\displaystyle \frac{1}{6\cdot 8}}$

を計算しなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．

(4)　半径$5$の円から，その円に内接する長方形$R$を取り除いた図形を$S$とする．このとき，$S$の面積が最小となる長方形$R$の$4$つの辺の長さの合計を求めなさい．

【２】　以下の問いに答えなさい．

(1)　方程式

$\left|x\right|+3|x-1|=9$

を解きなさい．

【２】　以下の問いに答えなさい．

(2)　$1$次不定方程式

$4x-3y=1$

をみたす整数の組$(x,y)$を一般解の形で求めなさい．

【２】　以下の問いに答えなさい．

(3)　$2$次方程式

$x^2-3kx-k+1=0$

の$1$つの解が他の解の$2$倍であるとき，定数$k$の値を求めなさい．

【２】(4)　不等式

$2^{3-2x}-3\cdot 2^{1-x}+1>0$

をみたす$x$の範囲を求めなさい．

【３】　媒介変数$t$$\text{（}0\leqq t<2\pi \text{）}$を用いて，

$x=\cos (t+{\displaystyle \frac{\pi }{6}})\text{，}$$y=\cos (t-{\displaystyle \frac{\pi }{6}})$

で表される曲線について，以下の問いに答えなさい．

(1)　$t=0\text{，}$${\displaystyle \frac{\pi }{6}}\text{，}$${\displaystyle \frac{\pi }{3}}\text{，}$${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のときの曲線上の点の座標をそれぞれ求めなさい．

(2)　原点から曲線上の点$(x,y)$までの距離$L$を$\cos t$を用いて表しなさい．

(3)　点$(x,y)$が曲線上を動くとき，(2)で定めた距離$L$が最大になる点と最小になる点の座標をそれぞれすべて求めなさい．

【４】　四面体$\mathrm{OABC}$について，辺$\mathrm{OA}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}\text{，}$辺$\mathrm{CA}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{E}\text{，}$辺$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{F}$とする．また，$\mathrm{▵BCD}\text{，}$$\mathrm{▵OBE}\text{，}$$\mathrm{▵OCF}$の交わる点を$\mathrm{G}$とするとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OD}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OE}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表しなさい．

(2)　$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{E}$を通る平面と$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{F}$を通る平面の交線が$\mathrm{▵ABC}$と交わる点を$\mathrm{H}$とする．このとき，$\mathrm{▵ABC}$に$3$点$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}\text{，}$$\mathrm{H}$を図示しなさい．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表しなさい．

(4)　$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{．}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表しなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．

(1)　辺の長さが全て$1$の四角すいの体積$V$を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．

(2)　方程式

${\log }_{2}x+{\log }_{x}2={\displaystyle \frac{5}{2}}$

をみたす$x$を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．

(3)　正の値をとる等比数列$\{a_n\}$が，

$a_1+a_2+\cdots +a_{2023}=27\text{，}$${\displaystyle \frac{1}{a_1}}+{\displaystyle \frac{1}{a_2}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{a_{2023}}}=3$

をみたす．このとき，初項$a_1$から第$2023$項$a_{2023}$までの積$a_1{a}_2\cdots a_{2023}$の値を求めなさい．ただし，一般項$a_n$は$a_n=a{r}^{n-1}$と表されることをもちいてよい．

【１】　以下の問いに答えなさい．

(4)　$2$次関数$y=x^2-2x+26$のグラフを

(ⅰ)　原点に関して対称移動する．

(ⅱ)　$x$軸方向に$-{\displaystyle \frac{1}{2}}$平行移動する．

(ⅲ)　$y=\alpha$に関して対称移動する．

の順で移動したグラフは$y=x^2+3x+12$と表される．このとき，$\alpha$の値を求めなさい．

【２】　実数$a\text{，}$$b$は二重根号を用いて

$a={\displaystyle \frac{3}{\sqrt{4+\sqrt{7}}}}\text{，}$$b={\displaystyle \frac{3}{\sqrt{4-\sqrt{7}}}}$

と表される．このとき，以下の問いに答えなさい．ただし，求める値は二重根号を用いて表さないこと．

(1)　$a^2+b^2\text{，}$$ab$の値を求めなさい．

(2)　$a+b\text{，}$$ab$の値を求めなさい．

(3)　$a\text{，}$$b$の値を求めなさい．

【３】　連立不等式

$x^2+y^2-2x-4y+1\leqq 0\text{，}$$x+y-3\geqq 0$

が表す領域を$D$とする．点$\mathrm{P}$$(x,y)$がこの領域$D$を動くとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　領域$D$を図示しなさい．

(2)　領域$D$において$y-x$の最大値とそのときの点$\mathrm{P}$$(x,y)$を求めなさい．

(3)　領域$D$において$y+2x$の最小値とそのときの点$\mathrm{P}$$(x,y)$を求めなさい．

(4)　領域$D$において$y+2x$の最大値を求めなさい．

【４】　$k\text{，}$$\alpha \text{，}$$\beta$$\text{（}\alpha <\beta \text{）}$は実数とする．放物線$y=x^2$と直線$y=kx+1$の$2$つの交点を点$\mathrm{P}$$(\alpha ,{\beta }^2)\text{，}$点$\mathrm{Q}$$(\beta ,{\beta }^2)$とする．このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　$\alpha \beta$の値を求め，$\alpha +\beta \text{，}$$\alpha -\beta$を$k$を用いて表しなさい．

(2)　点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$における放物線の接線をそれぞれ$l\text{，}$$m$とする．いま，直線$l\text{，}$$m$の交点を点$\mathrm{R}$とするとき，点$\mathrm{R}$の$x$座標を$\alpha \text{，}$$\beta$を用いて表しなさい．

(3)　放物線$y=x^2$と直線$l\text{，}$$m$で囲まれる図形の面積$S$を$k$を用いて表しなさい．