2023　筑波大学　前期

【１】　曲線$C\text{：}y=x-x^3$上の点$\mathrm{A}$$(1,0)$における接線を$l$とし，$C$と$l$の共有点のうち$\mathrm{A}$とは異なる点を$\mathrm{B}$とする．また，$-2<t<1$とし，$C$上の点$\mathrm{P}$$(t,t-t^3)$をとる．さらに，三角形$\mathrm{ABP}$の面積を$S(t)$とする．

(1)　点$\mathrm{B}$の座標を求めよ．

(2)　$S(t)$を求めよ．

(3)　$t$が$-2<t<1$の範囲を動くとき，$S(t)$の最大値を求めよ．

【２】　$\alpha \text{，}$$\beta$を実数とし，$\alpha >1$とする．曲線$C_1\text{：}y=|x^2-1|$と曲線$C_2\text{：}y=-{(x-\alpha )}^2+\beta$が，点$(\alpha ,\beta )$と点$(p,q)$の$2$点で交わるとする．また，$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積を$S_1$とし，$x$軸，直線$x=\alpha \text{，}$および$C_1$の$x\geqq 1$を満たす部分で囲まれた図形の面積を$S_2$とする．

(1)　$p$を$\alpha$を用いて表し，$0<p<1$であることを示せ．

(2)　$S_1$を$\alpha$を用いて表せ．

(3)　$S_1>S_2$であることを示せ．

【３】　座標空間内の原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$r$の球面$S$上に$4$つの頂点がある四面体$\mathrm{ABCD}$が，

$\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}+\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{0}$

を満たしているとする．また三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}$を$r$を用いて表せ．

(3)　点$\mathrm{P}$が球面$S$上を動くとき，$\overrightarrow{\mathrm{PA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{PB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PC}}+\overrightarrow{\mathrm{PC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PA}}$の最大値を$r$を用いて表せ．さらに，最大値をとるときの点$\mathrm{P}$に対して，$\left|\overrightarrow{\mathrm{PG}}\right|$を$r$を用いて表せ．

【４】　$a\text{，}$$b$を実数とし，$f(x)=x+a\sin x\text{，}$$g(x)=b\cos x$とする．

(1)　定積分${\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }}f(x)g(x)\mathit{dx}$を求めよ．

(2)　不等式

${\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }}{\{f(x)+g(x)\}}^2\mathit{dx}\geqq {\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }}{\{f(x)\}}^2\mathit{dx}$

が成り立つことを示せ．

(3)　曲線$y=|f(x)+g(x)|\text{，}$$2$直線$x=-\pi \text{，}$$x=\pi \text{，}$および$x$軸で囲まれた図形を$x$軸の周りに$1$回転させてできる回転体の体積を$V$とする．このとき不等式

$V\geqq {\displaystyle \frac{2}{3}}{\pi }^2({\pi }^2-6)$

が成り立つことを示せ．さらに，等号が成立するときの$a\text{，}$$b$を求めよ．

【５】　$f(x)=x^{-2}{e}^x$$\text{（}x>0\text{）}$とし，曲線$y=f(x)$を$C$とする．また$h$を正の実数とする．さらに，正の実数$t$に対して，曲線$C\text{，}$$2$直線$x=t\text{，}$$x=t+h\text{，}$および$x$軸で囲まれた図形の面積を$g(t)$とする．

(1)　$g^{\prime }(t)$を求めよ．

(2)　$g(t)$を最小にする$t$がただ$1$つ存在することを示し，その$t$を$h$を用いて表せ．

(3)　(2)で得られた$t$を$t(h)$とする．このとき極限値$\underset{h\to +0}{\lim }t(h)$を求めよ．

【６】　$i$を虚数単位とする．複素数平面に関する以下の問いに答えよ．

(1)　等式$|z+2|=2|z-1|$を満たす点$z$の全体が表す図形は円であることを示し，その円の中心と半径を求めよ．

(2)　等式

$\{|z+2|-2|z-1|\}|z+6i|$$=3\{|z+2|-2|z-1|\}|z-2i|$

を満たす点$z$の全体が表す図形を$S$とする．このとき$S$を複素数平面上に図示せよ．

(3)　点$z$が(2)における図形$S$上を動くとき，$w={\displaystyle \frac{1}{z}}$で定義される点$w$が描く図形を複素数平面上に図示せよ．

問題選択一覧

数学I・II・A・B　【１】,【２】,【３】から２題選択

数学I・II・III・A・B　【１】,【２】,【３】から２題選択,【４】,【５】,【６】から２題選択

　総合選抜文系,社会学類　数学I・II・A・Bを解答

　国際総合学類,障害科学類　数学I・II・A・Bまたは数学I・II・III・A・Bを選択して解答

　それ以外の学類　数学I・II・III・A・Bを解答